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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Do 17.09.2015 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei X exponentialverteilt mit Parameter [mm]\lambda[/mm] und es sei [mm]Y_t=min(X,t)[/mm] für festes [mm]t>0[/mm].
Zeigen Sie: [mm]E[X|Y_t]=X*1_{\{X |
Hallo,
gilt [mm]\sigma(Y_t)=\sigma(\{Y_t=t\})=\sigma\{\{Y_t=t\},\{Y_t=X\})=\sigma(\{X\ge t\},\{X
würde dies folgendes ergeben:
[mm]E[X|Y_t]=\frac{1}{P(X
d.h. der zweite Summand stimmt, nur der erste nicht.
Mir ist klar, dass eigentlich auf der Menge [mm] $\{Y_t=X\}=\{X
aber ich sehe gerade noch nicht, warum die obige Sigma-Algebra falsch ist.
Könntet ihr mir weiterhelfen?
LG
Fry
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Hiho,
> [mm]\sigma(Y_t)=\sigma(\{Y_t=t\})=\sigma\{\{Y_t=t\},\{Y_t=X\})=\sigma(\{X\ge t\},\{XEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
also da gibt es mehrere Dinge, die ich bemängeln würde:
Vorab: Es gilt ja $\sigma(\{Y_t=t\}) = \left\{\emptyset, \{Y_t=t\}, \{Y_t\not=t\},\Omega\right\}$)
1.) Warum sollte $\sigma(Y_t) = \sigma(\{Y_t=t\})$ gelten?
2.) Auch die Gleichheit $\sigma(\{Y_t=t\})=\sigma\{\{Y_t=t\},\{Y_t=X\})$ halte ich für kritisch, denn es gilt zwar $\sigma(\{Y_t=t\})=\sigma\{\{Y_t=t\},\{Y_t=X,X\not= t\})$. Das unterscheidet sich zwar nur durch Nullmengen von $\sigma(\{Y_t=t\})=\sigma\{\{Y_t=t\},\{Y_t=X\})$, ist aber formal erstmal nicht gleich.
Und wegen 2.) funktioniert mMn auch deine Formel nicht, die gilt nämlich nur, falls die erzeugenden Mengen eine disjunkte Partition von \Omega bilden und das tut ${Y_t=t\},\{Y_t=X,X\not= t\}$ nicht.
Ich würde es direkt über die Dichte der gemeinsame Verteilung von Y_t und X machen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 18.09.2015 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
lieben Dank für deine Antwort! :)
> Und wegen 2.) funktioniert mMn auch deine Formel nicht, die
> gilt nämlich nur, falls die erzeugenden Mengen eine
> disjunkte Partition von [mm]\Omega[/mm] bilden und das tut
> [mm]{Y_t=t\},\{Y_t=X,X\not= t\}[/mm] nicht.
Warum ist denn das keine disjunkte Partition?
Viele Grüße
Fry
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Hiho,
du hast natürlich recht. Es ist [mm] $\{Y_t=t\} [/mm] = [mm] \{t\le X\}$ [/mm] und [mm] $\{Y_t = X,X\not=t\} [/mm] = [mm] \{t > X\}$.
[/mm]
Damit stimmt auch der Rest deiner Gleichungskette. Da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf.
Bleibt noch die Erklärung offen, warum [mm] \sigma(Y_t) [/mm] = [mm] \sigma(\{Y = t\})$ [/mm] gelten sollte.
Gruß,
Gono
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