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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:00 So 02.07.2006 | | Autor: | pAt84 |
| Aufgabe | In der Telefonzentrale eines Kleinbetriebes mit nur einer Amtsleitung treffen im Mittel 12 Anrufe je Stunde ein. Bei einer mittleren Gesprächsdauer von 3 Minuten bestimme man unter Annahme von exponentialverteilten Zwischenankunftszeiten für die eintretenden Anrufe und Gesprächsdauern:
a) die Verlustwahrscheinlichkeit (Leitung besetzt), wenn bekannt ist, dass vor 3 Minuten die Leitung besetzt war,
b) die stationäre Verlustwahrscheinlichkeit,
c) die mittlere Anzahl der Anrufer je Stunde, die bei ihrem Anruf eine Verbindung in die Zentrale erhalten. |
Hallo,
folgendes habe ich schon gemacht
[mm] X_t [/mm] als die Anzahl der eintreffenden Anrufe pro Stunde mit [mm] X_t \~poi [/mm] und [mm] EX_t = 12 [/mm] .
Und damit (rechnen in Minuten)
[mm]
EX_t = 12 = EX_{60} = \lambda t = 60\lambda \Leftrightarrow \lambda = 0,2
[/mm] als die Stromintensität.
Nun folgende Zustände: [mm] Z_0 [/mm] für "das System ist leer" und [mm] Z_1 [/mm] für "das System ist besetzt" und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten [mm] p_0 (t) [/mm] und [mm] p_1 (t) [/mm] dafür, dass das System in den jeweiligen Zuständen ist.
Die zufällige Bedienzeit [mm] T_B \~\exp [/mm] erbigt sich zu
[mm]
P\left( {T_B < t} \right) = 1 - e^{ - \mu t}
[/mm]
mit [mm]
ET_B = 3 = {1 \over \mu } \Leftrightarrow \mu = {1 \over 3} [/mm]
[mm] \lambda ,\mu [/mm] sind die Geburten- und Sterberate.
Soweit, so gut. Ich hoffe bis hier ist richtig!
b) und c) habe ich denke ich schon gelöst... folgt:
b)
[mm]
p_0 = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } p_0 (t) = {\mu \over {\lambda + \mu }} = 0,625
[/mm]
und
[mm]
p_1 = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } p_1 (t) = {\lambda \over {\lambda + \mu }} = 0,375 = 1 - p_0
[/mm]
c) [mm] Z [/mm] als die Anzahl der Anrufer die durchkommen
[mm]
EZ = p_0 EX_t = 0,625*12 = 7,5
[/mm]
Soweit, so gut. Ich hoffe das ist richtig. Mein Problem liegt bei a)
Ich habe schon eine gewisse Vorstellung wie das laufen könnte. Sicherlich müsste sich das t aus den Gleichungen irgendwo wegkürzen oder durch minus aufheben. Dabei dachte ich auch gleich an den Satz von Bayes mit
A - Die Leitung ist jetzt (zum Zeitpunkt) [mm] t_2 = t_1 + 3 [/mm] besetzt, also [mm] p_1 (t_2 ) = p_1 (t_1 + 3) [/mm]
B - Die Leitung war zum Zeitpunkt [mm] t_1 [/mm] besetzt, also [mm] p_1 (t_1 ) [/mm]
und dann halt
[mm]
P\left( {A|B} \right) = {{P\left( {B|A} \right)P\left( A \right)} \over {P\left( B \right)}}
[/mm]
Da komme ich aber nicht weiter, da ich ja schließlich auch [mm]
{P\left( {B|A} \right)} [/mm] nicht habe.
Da stehe ich etwas auf dem Schlauch und wäre dankbar für Hilfe.
Grüße,
Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 04.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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