Bedeutung "Genauigkeit" < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Do 15.09.2011 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Die Lösung einer DGL ergibt:
$T=2\pi\wurzel{\bruch{J_a}{m*g*l}}\left(1+\left(\bruch{1}{2}\right)^2sin^2\left(\bruch{\varphi_0}{2}\left)+\left(\bruch{1*3}{2*4}\right)^2*sin^4\left(\bruch{\varphi_0}{2}\right)+\left(\bruch{1*3*5}{2*4*6}\right)*sin^6\left(\bruch{\varphi_0}{2}\right)+...\right)$ |
Nun ist der Quotient
$\bruch{T(\varphi_0)-T(0)}{T(0)}$
für Winkel $5°\le\phi\le 60°$ in 5°-Schritten mit einer Genauigkeit von 1% auszurechnen. Dann soll man dazu die Anzahl der Glieder angeben, die man dafür brauchte.
Irgendwie verstehe ich nicht ganz, was mit der Genuigkeit gemeint ist. So wie ich das jetzt verstehen würde, ist das der "Einfluss" des jeweils nächsten Gliedes, ob der Wert des Quotienten sich dann um mehr als 1% verändern würde.
Bedeutet das aber, dass ich jetzt für alle Winkel die Reihe immer bis zu einem gewissen Glied ausrechne und dann schaue, wie sich das nächste Glied auf das Ergebnis auswirkt?
Aber vielleicht ist mit Genauigkeit auch etwas anderes gemeint?
Bin mir irgendwie unsicher.
Würde mich über Hilfe freuen!
lg und vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Do 15.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib erstmal deinen Differenzenquotienten hin, dann hast du nur noch
[mm](\bruch{1}{2}\right)^2sin^2\left(\bruch{\varphi_0}{2}\left)+\left(\bruch{1\cdot{}3}{2\cdot{}4}\right)^2\cdot{}sin^4\left(\bruch{\varphi_0}{2}\right)+\left(\bruch{1\cdot{}3\cdot{}5}{2\cdot{}4\cdot{}6}\right)\cdot{}sin^6\left(\bruch{\varphi_0}{2}\right)+...[/mm]
jetzt musst du für alle Winkel den Rest (nicht nur das letzte Glied) abschätzrn, es sei denn, das nimmt so schnell ab, dass die folgenden praktisch nichts mehr beitragen, und dann auf 1% genau.
ich würd mit dem größten winkel anfangen, da dabei ja der größte Fehler entsteht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Fr 16.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo
> schreib erstmal deinen Differenzenquotienten hin, dann
> hast du nur noch
> [mm](\bruch{1}{2}\right)^2sin^2\left(\bruch{\varphi_0}{2}\left)+\left(\bruch{1\cdot{}3}{2\cdot{}4}\right)^2\cdot{}sin^4\left(\bruch{\varphi_0}{2}\right)+\left(\bruch{1\cdot{}3\cdot{}5}{2\cdot{}4\cdot{}6}\right)\cdot{}sin^6\left(\bruch{\varphi_0}{2}\right)+...[/mm]
> jetzt musst du für alle Winkel den Rest (nicht nur das
> letzte Glied) abschätzrn, es sei denn, das nimmt so
> schnell ab, dass die folgenden praktisch nichts mehr
> beitragen,
Da die Vorfaktoren vor den Potenzen des Sinus alle $<1$ sind, und außerdem der Sinus im betrachteten Winkelbereich weder 1 noch -1 wird, ist die geometrische Reihe in [mm] $\sin^2 \bruch{\varphi_0}{2}$ [/mm] eine konvergente Majorante.
Da die geometrische Reihe auch eine Taylorentwicklung darstellt, kann man den Fehler durch eine geeignete Restgliedformel abschätzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Di 20.09.2011 | | Autor: | nhard |
Vielen Dank schonmal für die Antworten!
Ich habe leider noch immer nicht verstanden, was die 1% Genauigkeit bedeuten soll.. bzw. ob ich das Problem begreife:
Ich möchte für den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] so viele Glieder der Reihe ausrechnen, dass alle restlichen Glieder nur noch 1% meines Wertes verändern. Wenn ich mit $x$ Gliedern das Ergebnis $100$ bekomme, muss ich mit einer Abschätzung sichergehen, dass selbst wenn ich alle Restglieder (unendliche viele?) ausrechne, mein Ergebnis bis auf [mm] $\pm [/mm] 1$ korrekt ist.
Wenn das nicht der Fall ist, rechne ich mein Ergebnis für $x+1$,$x+2$,... Glieder aus, bis ich die geforderten 1% erreiche.
Also liegt das Problem jetzt darin, dass ich eine geeignete Abschätzung für die Restglieder brauche?
Dafür dann wahrscheinlich die Tipps von rainerS?
So wie ich das verstehe, kann ich ja die sinus-Potenzen so abschätzen:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}(sin^2\left(\bruch{\varphi}{2}\right))^k=\bruch{1}{1-sin^2(\bruch{\varphi}{2})}$
[/mm]
Aber wie ich das jetzt als Majorante einsetzen kann um meine Restglieder abzuschätzen verstehe ich leider noch nicht :(
lg
nhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Di 20.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Abschatzung fängt erst bei k+1 an, wenn du die Glieder der bis k nimmst!
und ja ein bissel Arbeit ist das schon!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Di 20.09.2011 | | Autor: | nhard |
danke für deine Antwort!
Mit Arbeit hab ich kein Problem, so lang ich weiss, dass es Sinn macht ;)
Also ich berechne die Reihe bis zum x-ten Glied.
Dann macht es natürlich nur Sinn, die Glieder ab dem x+1-en Glied abzuschätzen.
Aber wie genau mach ich das?
Berechne ich dann die Reihe von k=0 aus und ziehe dann die Glieder von k=0 bis k=x "per Hand" wieder ab?
Aber jetzt habe ich doch immer noch nicht die Vorfaktoren berücksichtigt, sonder nur den sin?
Oder begründe ich jetzt so, dass mein Abschätzung immer größer ist, als die eigentlichen Glieder, d.h. wenn meine Abschätzung eine Genauigkeit von 1% ergibt, dann ist das in jedem Fall ausreichend?
Vielen dank für eure Hilfe!
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Di 20.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke für deine Antwort!
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> Mit Arbeit hab ich kein Problem, so lang ich weiss, dass es
> Sinn macht ;)
>
>
> Also ich berechne die Reihe bis zum x-ten Glied.
>
> Dann macht es natürlich nur Sinn, die Glieder ab dem
> x+1-en Glied abzuschätzen.
>
> Aber wie genau mach ich das?
> Berechne ich dann die Reihe von k=0 aus und ziehe dann die
> Glieder von k=0 bis k=x "per Hand" wieder ab?
>
> Aber jetzt habe ich doch immer noch nicht die Vorfaktoren
> berücksichtigt, sonder nur den sin?
>
> Oder begründe ich jetzt so, dass mein Abschätzung immer
> größer ist, als die eigentlichen Glieder, d.h. wenn meine
> Abschätzung eine Genauigkeit von 1% ergibt, dann ist das
> in jedem Fall ausreichend?
Deine Reihe hat doch folgende Form (mit der Abkürzung [mm] $q=\sin^2\bruch{\phi}{2}$:
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^\infty a_k q^k [/mm].
Nun ist für alle k: [mm] $\bruch{1}{4} \le a_k\le [/mm] 1$, und daher [mm] $\bruch{1}{4}q^k \le a_k q^k\le q^k$ [/mm] .
Wenn du also nur die ersten n Glieder nimmst, so ist der absolute Fehler
[mm] \summe_{k=n+1}^\infty a_k q^k \le \summe_{k=n+1}^\infty q^k = \summe_{k=0}^\infty q^k - \summe_{k=0}^n q^k = \bruch{1}{1-q} - \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} = \bruch{q^{n+1}}{1-q}[/mm] .
Um den relativen Fehler zu bestimmen, schätze ich die Summe nach unten ab:
[mm] \summe_{k=0}^\infty a_k q^k \ge \summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{4} q^k = \bruch{1}{4} \bruch{1}{1-q} [/mm] .
Also ist der relative Fehler
[mm] \bruch{\summe_{k=n+1}^\infty a_k q^k}{ \summe_{k=0}^\infty a_k q^k} \le 4 q^{n+1} [/mm] .
Nun setzt den den größtmöglichen Wert des Sinus (bei [mm] $60^\circ$) [/mm] ein und bekommst [mm] $4^{-n}$ [/mm] als relativen Fehler.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 20.09.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo,
vielen Dank für die Ausführliche Antwort!
Habe soweit auch alles verstanden und finde es sehr elegant ;)
Allerdings stimmt glaube ich die Ungleichung [mm] $\bruch{1}{4}\le a_k \le [/mm] 1 $ nicht ganz, da ja der Bruch noch quadriert wird, und [mm] $\left(\bruch{1*3}{2*4}\right)^2< \bruch{1}{4}$
[/mm]
Dann einfach mit [mm] $\bruch{1}{8}$ [/mm] abschätzen?
Für größere Winkel zb [mm] $\varphi=130°$ [/mm] geht die Abschätzung ja ziemlich nach oben, ist also eher ungeeignet? Habe leider eben entdeckt, dass ich von 60° bis 130° in 10er Schritten den Quotienten auch noch berechnen soll.
lg und nochmal vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mi 21.09.2011 | | Autor: | rainerS |
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Ausführliche Antwort!
> Habe soweit auch alles verstanden und finde es sehr
> elegant ;)
>
>
> Allerdings stimmt glaube ich die Ungleichung
> [mm]\bruch{1}{4}\le a_k \le 1[/mm] nicht ganz, da ja der Bruch noch
> quadriert wird, und [mm]\left(\bruch{1*3}{2*4}\right)^2< \bruch{1}{4}[/mm]
>
> Dann einfach mit [mm]\bruch{1}{8}[/mm] abschätzen?
Ja, zum Beispiel.
> Für größere Winkel zb [mm]\varphi=130°[/mm] geht die
> Abschätzung ja ziemlich nach oben, ist also eher
> ungeeignet?
Wieso denn? Die Abschätzung funktioniert solange [mm] $\sin^2\bruch{\varphi}{2}=q<1$ [/mm] ist, also [mm] $-90^\circ [/mm] < [mm] \varphi/2 <+90^\circ$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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