Bed. Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Fry |
Verstehe folgenden (sicher einfachen) Schritt im Beweis:
"vollständig + suffizient => minimalsuffizient"
Ich möchte zeigen, dass gilt:
[mm] T:(X,A)\to(X',A') [/mm] und [mm] S:(X,A)\to(X'',A'') [/mm] messbar.
Dann sind äquivalent:
Für alle [mm] A\in [/mm] A' existiert ein [mm] B\in [/mm] A'': [mm] T^{-1}(A)=S^{-1}(B) [/mm] fast sicher
und [mm] E(1_{A}(T)|S)=1_{A}(T) [/mm] fast sicher für alle [mm] A\in [/mm] A'.
Zur Hinrichtung hab ich mir gedacht, dass dann
[mm] E(1_A(T)|S)= E(1_B(S)|S)=1_B(S)=1_A(T),
[/mm]
da [mm] 1_B(S) \sigma(S)-messbar [/mm] ist.
Bei der Rückrichtung hab ich keinen Schimmer.
Würd mich über eure Hilfe freuen.
Viele Grüße
Fry
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Mi 06.04.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo Fry,
kannst du bitte mal schildern was dass hier
[mm]1_{A}(T)[/mm]
genau ist? $T$ ist doch eine Abbildung. Soll dass heißen, wenn $T(x)$ in $A$ leigt gibts eins ansonsten null? Aber dass kann doch nicht sein denn $T$ bildet doch von $(X,A)$ auf $(X',A')$ ab.
beste grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> und $ [mm] E(1_{A}(T)|S)=1_{A}(T) [/mm] $ fast sicher für alle $ [mm] A\in [/mm] A'$.
Auch wenn ich es sehr sinnvoll finde, den gleichen Buchstaben für verschiedene Dinge zu benutzen ^^
MFG;
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Mi 06.04.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wer lesen kann ist klar im Vorteil .-)
Danke!
|
|
|
| |
|
Huhu,
eigentlich ist die Rückrichtung hier die triviale:
Es gilt: $ [mm] E(1_{A}(T)|S)=1_{A}(T) [/mm] $ für alle $A [mm] \in [/mm] A'$.
Setze $A=X'$, dann gilt:
$E(T|S) = T$, d.h. T ist S-mb und damit sind wir fertig.
Bei deinem Beweis sind noch einige Sachen unklar:
> Zur Hinrichtung hab ich mir gedacht, dass dann
> [mm]E(1_A(T)|S)= E(1_B(S)|S)=1_B(S)=1_A(T),[/mm]
Wie kommst du darauf, dass [mm] $1_A(T) [/mm] = [mm] 1_B(S) \;\IP$-f.s [/mm] gilt?
Das ist noch nicht so ganz klar.....
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mi 06.04.2011 | | Autor: | vivo |
Hi,
kannst du dass hier bitte mal näher erläutern,
> [mm]A=X'[/mm], dann gilt:
>
> [mm]E(T|S) = T[/mm], d.h. T ist S-mb und damit sind wir fertig.
ist nicht [mm] $1_A(T)$ [/mm] immer 1 wenn [mm]A=X'[/mm] ?
Wieso ist [mm] $1_A(T)$ [/mm] denn $T$?
danke und grüße
|
|
|
| |
|
Huhu,
da hast du natürlich recht, da war ich ein wenig vorschnell 
Die Idee es korrekt auszuführen ist allerdings recht analog:
[mm] $E(1_A(T)|S) [/mm] = [mm] 1_A(T)$ [/mm] bedeutet ja, dass [mm] $1_A(T)$ [/mm] S-mb ist für alle $A [mm] \in [/mm] A'$
Heisst also: [mm] $(1_A \circ T)^{-1}(B) [/mm] = [mm] T^{-1}\left(1_A^{-1}(B)\right) \in \sigma(S)$ [/mm] für [mm] $B\in \mathcal{P}\left(\{0,1\}\right)$
[/mm]
Wähle nun [mm] $B=\{1\}$, [/mm] dann gilt insbesondere:
[mm] $(1_A \circ T)^{-1}(\{1\}) [/mm] = [mm] T^{-1}\left(1_A^{-1}(\{1\})\right) [/mm] = [mm] T^{-1}(A) \in \sigma(S)$ [/mm] für [mm] $A\in [/mm] A'$, d.h. T ist S-mb.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Fry |
Ein großes Dankeschön :)
Viele Grüße
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Fry |
> Wie kommst du darauf, dass [mm]1_A(T) = 1_B(S) \;\IP[/mm]-f.s gilt?
> Das ist noch nicht so ganz klar.....
Nein?
Ich dachte, diese Aussage ist äquivalent zu [mm] T^{-1}(A)=S^{-1}(B) [/mm] fast sicher, da [mm]1_A\circ T=1_{\{T\in A\}}=1_{T^{-1}(A)}[/mm] .
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Ich dachte, diese Aussage ist äquivalent zu
> [mm]T^{-1}(A)=S^{-1}(B)[/mm] fast sicher, da [mm]1_A\circ T=1_{\{T\in A\}}=1_{T^{-1}(A)}[/mm]
Ist sie ja auch
Was ich meinte war, ohne Zusatzbemerkung kannst du das so nicht hinschreiben.
Jetzt hast du sie ja gemacht
MFG,
Gono.
|
|
|
|
