Bayes Formel+ Bedingten W'keit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mi 31.12.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Nehmen wir an,dass $80 [mm] \% [/mm] $ der Studierenden,deren Name auf einer abgegebenen Bearbeitung eines Übungsblatts erscheinen,die gelösten Aufgaben selbst bearbeitet haben, und dass [mm] $75\%$ [/mm] diese Studierenden die Klausur zur Vorlesung im $1.$Versuch bestehen.Die restlichen $20 [mm] \%$der [/mm] Studierenden haben sich nur auf die Abgabe von jemand anderes mit drauf schreiben lassen,ohne die Aufgaben anzusehen. Nehmen wir an,dass $10 [mm] \%$ [/mm] der letzeren Studiernden die Klausur im $1.$Versuch bestehen. Betrachten sie die Ereignisse
$A:" $ Studierender hat die Aufgabe selbst bearbeitet.$"$
$B:" $ Studierender hat die Klausur im 1.Verusch bestanden.$"$
$a)$Welche der Wahrscheinlichkeiten [mm] $P(A),P(A^c),P(B),P(B^c),P(A|B),P(A^c|B),P(A|B^c),P(A^c|B^c),P(B|A),P(B|A^c),P(B^c|A)$und $P(B^c|A^c)$ [/mm] sind im Text gegeben?
Geben sie die Wahrscheinlichkeiten an.
$b) $Berechnen sie die anderen Wahrscheinlichkeiten (in angemessener Reihenfolge)
$c)$Beschreiben sie die [mm] Wahrscheinlichkeiten$P(B^c|A)$ [/mm] und [mm] $P(B|A^c)$verbal. [/mm] |
aufgabe a)
im Text
$P(A) = 80/100$
$P() = 75/100$
[mm] $P(A^c) [/mm] = 20/100$
$ P () = 10/100$
$ P(B|A) =75/100$
$ [mm] P(B|A^C)=10/100$ [/mm]
bei $P() = 75/100$ und $ P () = 10/100$ weiss ich nicht was da hin kommt denn
$b) $
$1. P(B) = 0,1+0,75 = 0,85 = [mm] 85\%$
[/mm]
$ [mm] P(B^c)= [/mm] 1-P(B) = 1-0,85= 0,15 = 15 [mm] \%$
[/mm]
jetzt via Formel von Bayes
die lautet $ P(A|B) = [mm] \frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)}$
[/mm]
$ P(A|B) = [mm] \frac{\frac{75}{80}*0,8}{0,15}= [/mm] 88,24 %$
$ [mm] P(A^c|B) [/mm] = [mm] \frac{\frac{10}{20}*0,8}{0,15}= [/mm] 11,76$
aus diesen Berechnung folgere ich ,dass die von mir oben nicht gelösten aufgaben irgendwas [mm] mit$P(A|B^c), P(A^c|B^c),P(B^c|A),P(B^c|A^c)$
[/mm]
fröhliche grüße
lgs
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> Nehmen wir an,dass [mm]80 \%[/mm] der Studierenden,deren Name auf
> einer abgegebenen Bearbeitung eines Übungsblatts
> erscheinen,die gelösten Aufgaben selbst bearbeitet haben,
> und dass [mm]75\%[/mm] dieser Studierenden die Klausur zur Vorlesung
> im [mm]1.[/mm]Versuch bestehen.Die restlichen [mm]20 \%[/mm]der Studierenden
> haben sich nur auf die Abgabe von jemand anderes mit drauf
> schreiben lassen,ohne die Aufgaben anzusehen. Nehmen wir
> an,dass [mm]10 \%[/mm] der letzeren Studiernden die Klausur im
> [mm]1.[/mm]Versuch bestehen. Betrachten sie die Ereignisse
>
> [mm]A:"[/mm] Studierender hat die Aufgabe selbst bearbeitet.[mm]"[/mm]
> [mm]B:"[/mm] Studierender hat die Klausur im 1.Verusch bestanden.[mm]"[/mm]
>
> [mm]a)[/mm]Welche der Wahrscheinlichkeiten
> [mm]P(A),P(A^c),P(B),P(B^c),P(A|B),P(A^c|B),P(A|B^c),P(A^c|B^c),P(B|A),P(B|A^c),P(B^c|A)[/mm]und
> [mm]P(B^c|A^c)[/mm] sind im Text gegeben?
> Geben sie die Wahrscheinlichkeiten an.
>
> [mm]b) [/mm]Berechnen sie die anderen Wahrscheinlichkeiten (in
> angemessener Reihenfolge)
>
> [mm]c)[/mm]Beschreiben sie die Wahrscheinlichkeiten[mm]P(B^c|A)[/mm] und
> [mm]P(B|A^c)[/mm]verbal.
> aufgabe a)
>
> im Text
>
>
> [mm]P(A) = 80/100[/mm]
> [mm]P() = 75/100[/mm]
Vorsicht! Es heisst "und dass [mm]75\%[/mm] dieser Studierenden", also geht es nur um die Studierenden, welche die Klausur selber bearbeitet haben, und das sind [mm]75\%[/mm] von [mm]80\%[/mm], also
$P(?|?) = [mm] \frac{75}{100}\frac{80}{100}=0.6$
[/mm]
Kannst Du nun die $?$ in $P(?|?)$ ergänzen?
> [mm]P(A^c) = 20/100[/mm]
> [mm]P () = 10/100[/mm]
Und wieder geht es hier um "[mm]10 \%[/mm] der letzeren Studiernden", also
$P(?|?) = [mm] \frac{10}{100}\frac{20}{100}=0.02$
[/mm]
Versuch mal, von dem Punkt aus alle anderen W'keiten auszurechnen., zuerst jene, die ohne Bayes gehen.
Gruss,
Hanspeter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 01.01.2015 | | Autor: | LGS |
$ P(?|?) = [mm] \frac{75}{100}\frac{80}{100}=0.6 [/mm] $ wäre ja dann $ P(A|B) = [mm] \frac{75}{100}\frac{80}{100}=0.6 [/mm] $
weil haben die Klausur im 1.Versuch bestanden und alle aufgaben selbst gemacht
$ [mm] P(A^c|B) [/mm] = [mm] \frac{10}{100}\frac{20}{100}=0.02 [/mm] $
haben die Aufgaben nicht selbst bearbeitet und dennoch im 1.Versuch bestanden.
ich weis nicht,ob diese Annahmen richtig sind,daher wollte ich diese zuerst klären und nacher den rest ausrechnen
liebe gruß und frohes neues jahr dir hanspeter
lgs
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> [mm]P(?|?) = \frac{75}{100}\frac{80}{100}=0.6[/mm] wäre ja dann
> [mm]P(A|B) = \frac{75}{100}\frac{80}{100}=0.6[/mm]
>
>
> weil haben die Klausur im 1.Versuch bestanden und alle
> aufgaben selbst gemacht
>
>
> [mm]P(A^c|B) = \frac{10}{100}\frac{20}{100}=0.02[/mm]
>
>
> haben die Aufgaben nicht selbst bearbeitet und dennoch im
> 1.Versuch bestanden.
Und nun habe ich Dich in die Irre geführt. Das tut mir sehr leid! Dies hier wären $P(AB)$ und $P(A^cB)$, aber die interessieren Dich ja nicht. Ignorier diese Abzweigung der Diskussion, bitte. Ich mache gleich bei der ersten Frage weiter.
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> Nehmen wir an,dass [mm]80 \%[/mm] der Studierenden,deren Name auf
> einer abgegebenen Bearbeitung eines Übungsblatts
> erscheinen,die gelösten Aufgaben selbst bearbeitet haben,
> und dass [mm]75\%[/mm] dieser Studierenden die Klausur zur Vorlesung
> im [mm]1.[/mm]Versuch bestehen.Die restlichen [mm]20 \%[/mm]der Studierenden
> haben sich nur auf die Abgabe von jemand anderes mit drauf
> schreiben lassen,ohne die Aufgaben anzusehen. Nehmen wir
> an,dass [mm]10 \%[/mm] der letzeren Studiernden die Klausur im
> [mm]1.[/mm]Versuch bestehen. Betrachten sie die Ereignisse
>
> [mm]A:"[/mm] Studierender hat die Aufgabe selbst bearbeitet.[mm]"[/mm]
> [mm]B:"[/mm] Studierender hat die Klausur im 1.Verusch bestanden.[mm]"[/mm]
>
> [mm]a)[/mm]Welche der Wahrscheinlichkeiten
> [mm]P(A),P(A^c),P(B),P(B^c),P(A|B),P(A^c|B),P(A|B^c),P(A^c|B^c),P(B|A),P(B|A^c),P(B^c|A)[/mm]und
> [mm]P(B^c|A^c)[/mm] sind im Text gegeben?
> Geben sie die Wahrscheinlichkeiten an.
>
> [mm]b) [/mm]Berechnen sie die anderen Wahrscheinlichkeiten (in
> angemessener Reihenfolge)
>
> [mm]c)[/mm]Beschreiben sie die Wahrscheinlichkeiten[mm]P(B^c|A)[/mm] und
> [mm]P(B|A^c)[/mm]verbal.
> Aufgabe a)
>
> [mm]P(A) = 80/100[/mm]
> [mm]P(A^c) = 20/100[/mm]
>
> [mm]P(B|A) =75/100[/mm]
> [mm]P(B|A^c)=10/100[/mm]
Das stimmt so.
Folglich kannst Du nun auch [mm]P(B^c|A) =25/100[/mm] und [mm]P(B^c|A^c)=90/100[/mm] angeben.
> [mm]b)[/mm]
>
> [mm]1. P(B) = 0,1+0,75 = 0,85 = 85\%[/mm]
Also [mm]P(B)=P(B|A)+P(B|A^c)[/mm]? Nein, das stimmt nicht. $P(B|A)$ ist die W'keit, dass B, wenn A. Aber A tritt nicht immer ein. Korrekt ist:
[mm]P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap A^c)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)[/mm]
> jetzt via Formel von Bayes
>
> die lautet [mm]P(A|B) = \frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)}[/mm]
>
Und das wird dann wieder stimmen, wenn $P(B)$ stimmt.
Gruss,
Hanspeter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Fr 02.01.2015 | | Autor: | LGS |
Hallo Hanspeter:)
also ich wollte die Aufgaben chronologisch und in richtiger Reihen folge,wie bei b) gefordert mal aufschreiben
aufgabe a)
$ P(A) = 80/100 $
$ [mm] P(A^c) [/mm] = 20/100 $
$ P(B|A) =75/100 $
$ [mm] P(B|A^c)=10/100 [/mm] $
b)
$ [mm] P(B^c|A) [/mm] =25/100 = 1- P(B|A) $
$ [mm] P(B^c|A^c)=90/100 [/mm] = 1- [mm] P(B|A^c) [/mm] $
$ [mm] P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap A^c)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)= [/mm] 75/100*80/100+10/100*20/100= 31/50 = 0,62 $
$ [mm] P(B^c)= [/mm] 1-31/50 = 1- 0,62 = 19/50= 0,38$
jetzt mit der Formel von Bayes
1. $ P(A|B) = [mm] \frac{P(B|A)\cdot{}P(A)}{P(B)} [/mm] $
$ P(A|B) = [mm] \frac{0,75\cdot{}0,8}{0,62} [/mm] = 0,967741 [mm] \approx 96,77\%$ [/mm]
2. $ [mm] P(A^c|B)= [/mm] 1- P(A|B) = 1-0,967741 = 0,03225 [mm] \approx [/mm] 3,22 [mm] \% [/mm] $
3. $ [mm] P(A|B^c) [/mm] = [mm] \frac{P(B^c|A)\cdot{}P(A)}{P(B^c)} [/mm] $
$ [mm] P(A|B^c) [/mm] = [mm] \frac{0,25\cdot{}0,8}{0,38}= [/mm] 0,52631 [mm] \approx [/mm] 52,63 [mm] \% [/mm] $
4. $ [mm] P(A^c|B^c) [/mm] = [mm] \frac{P(B^c|A^c)\cdot{}P(A^c)}{P(B^c)} [/mm] $
$ [mm] P(A^c|B^c) [/mm] = [mm] \frac{90/100\cdot{}0,2}{0,38} [/mm] = 0,473684 [mm] \approx 47,34\%$ [/mm]
aufgabe c)
$ [mm] P(B^c|A) [/mm] =25/100$ verbale beschreibung: Es beschreibt die W'keit,dass die Studierenden die Klausur nicht im 1.Versuch bestehen unter der Bedingung,dass sie ihre Aufgaben selbst bearbeitet haben.
$ [mm] P(B|A^c)=10/100 [/mm] $ verbale beschreibung: Es beschreibt die W'keit,dass die Studierenden die Klausur im 1.Versuch bestehen unter der Bedingung,dass sie ihre Aufgaben nicht selbst bearbeitet haben.
liebe grüße
lgs
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Gratuliere, für mich sieht das alles korrekt aus!
Ich habe allerdings nicht numerisch nachgerechnet, nur einen Rundungsfehler habe ich sofort gesehen: $0,473684 [mm] \approx 47,34\% [/mm] $ ist falsch gerundet. Warum sehe ich das sofort? Weil [mm] $P(A|B^c) [/mm] + [mm] P(A^c|B^c) [/mm] = [mm] 100\%$ [/mm] sein muss ;)
Gruss,
Hanspeter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Fr 02.01.2015 | | Autor: | chrisno |
In angemessener Reihenfolge ist eine unklare Angabe. Ich würde darunter eher verstehen:
In einer Reihenfolge, in der zuerst möglichst einfache Wahrscheinlichkeiten berechnet werden und danach möglichst viele, die mit einfachen Argumenten bestimmt werden. Zum Schluss die, die bis dahin noch nicht bearbeitet wurden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Fr 02.01.2015 | | Autor: | LGS |
ja das ist richtig . ist die aufgabe in solch einer angemessenen Reihenfolge deiner Art geschrieben?
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