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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:29 Sa 18.12.2021 | | Autor: | marthasmith |
<br>Ich arbeite mich gerade durch das Buch von Duda "Pattern Classification" und habe im Großen und Ganzen das Kapitel 2 bearbeitet und bin bei der Aufgabe 2.e:
Nehmen Sie an es sind 2 eindimensionale Normalverteilungen [mm]p(x|\omega_1) \tilde{} \mathcal{N}(0,1)[/mm] und
[mm] p(x|\omega_2) \tilde{} \mathcal{N}(1/2,1/4) [/mm] unter Berücksichtigung von zero-one-loss. Wie lautet das [mm]x*[/mm] und der gesamte
minimax Verlust?<br>
Als Ergänzung: In dem Buch wird aus der Bayes Formel
[mm] P(\omega_j|x)=\frac{p(x|\omega_j)P(\omega_j)}{p(x)} [/mm]
Also das posterior wird mit großem P und das likelihood mit kleinem p bezeichnet. Weiß jetzt nicht so, ob das für die folgenden Gedanken
relevant ist...
Als weitere Ergänzung: Die Klassifikation in zwei Kategorien unterliegt der Entscheidung des kleineren Risikos:
[mm]R(\alpha_1|x)=\lambda_{11}P(\omega_1|x)´+\lambda_{12}P(\omega_2|x)[/mm]
[mm]R(\alpha_2|x)=\lambda_{21}P(\omega_1|x)´+\lambda_{22}P(\omega_2|x)[/mm]
wobei [mm]\lambda_{ij}[/mm] die Verlustfunktion ist.
Imm allgemeinen entscheide ich mich für dasjenige Risiko das kleiner ist und entscheide mich für [mm]\omega_1[/mm] wenn gilt:
[mm] (\lambda_{21}-\lambda_{11})P(\omega_1|x)>(\lambda_{12}-\lambda_{22})P(\omega_2|x) [/mm] und unter Verwendung der Formel von Bayes
kann das ganze auch geschrieben werden als:
[mm] \frac{p(x|\omega_1)}{p(x|\omega_2)}>\frac{\lambda_{12}-\lambda_{22}}{\lambda_{21}-\lambda_{11}}\frac{P(\omega_2)}{P(\omega_1)}[/mm]
Bei der zero-one-loss gilt:
[mm]\lambda_{ij}=0[/mm] für [mm]i=j[/mm] und [mm] \lambda_{ij}=1[/mm] für [mm]i~=j[/mm].
so dass sich das noch vereinfacht. Mein Gedanke: Also brauche ich prinzipiell nur den Quotienten [mm]\frac{p(x|\omega_1)}{p(x|\omega_2)}[/mm]
zu bestimmen und habe im Schnittpunkt die Lösungen.
Aus dem Buch entnehme ich, dass die Lösung eigentlich ohne Rechnung zu sehen sein müsste und in Abhängigkeit von [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm] sein müsste.
Prinzipiell weiß ich wie die Normalverteilungen aussehen, habe sie mir aber nochmal mit Matlab geplottet und es gibt (wie angenommen zwei Schnittstellen).
Ich habe das Bild auch angehängt, aber es dauert ja immer ein wenig bis die hochgeladen sind und es ist dann auch kein so großer Mehrwert.
Nun habe ich mich also zu Fuß an die Berechnung gemacht, bin ein wenig aus der Übung aber:
[mm] \frac{\frac{1}{2\sprt{\Pi}} e^{0.5x^2} } {\frac{1}{\sprt{\Pi}}e^{0.5(4x-2)^2}}[/mm]
Und habe irgendwie das Gefühl auf dem Holzweg zu sein.
Könnte mir jemand weiterhelfen. Das wäre klase und da ich mir vorgenommen habe das Buch weiter durchzuarbeiten, kommen sicherlich noch weitere Fragen.
Tausend Dank
Marthasmith
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Guten Tag alle zusammen,
nach vielem Probieren hat sich meine Frage erledigt und die Lösung ist auch - wie so häufig - sehr einfach. Ich habe mich einfach verrechnet und es ist der natürliche Logarithmus des Quotienten der beiden Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu berechnen.
Wer immer es kann, könnte also den STatus meiner Frage auf "grün" ändern.
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