Bau einer schrägen Halle < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Ein Stadtplaner wird beauftragt eine Ausstellungshalle zu entwerfen, dessen Wände nicht senkrecht auf dem Boden sein dürfen.
Die Maße des ersten Entwurfes für die Grundfläche gibt es folgende Eckpunkte A1(0/0/0) B1(180/0/0) C1(160/240/0) D1(40/240/0). Die Eckpunkte für das Dach sind folgende sind A2(60/60/60) B2 (140/30/60) C2 (120/210/60) D2 (60/180/60) |
| Aufgabe 2 | | Berechne beispielhaft zwei Winkel, die von einer seitlichen Gebäudekante zu einer unteren bzw. zu einer oberen Gebäudekante gebildet werden. |
| Aufgabe 3 | | Die Gebäudekante A1A2 soll durch einen zu ihr orthonogalen Stützpfeiler in der Halle abgestützt werden. Zeige, dass ein Pfeiler, der von der Mitte M der Gebäudekante zu seinem Fußpunkt F(45/45/0) reicht, dieser Bedingung genügt. Berechne die Länge des Pfeilers. Erläutere, dass es weite Möglichkeiten für den Fußpunkt gibt, viele davon aber statisch weniger geeignet sind als andere. |
| Aufgabe 4 | | Weise nach, dass die Grundfläche ein Trapez ist, die Dachfläche jedoch nicht. Verändere die Lage eines Dacheckpunkts so, dass die Dachfläche ebenfalls ein Trapez wird. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=522052
Im Feld für Aufgabe eins habe ich erstmal die Daten die gegeben sind.
Aufgabe 2)Für die Aufgabe der Winkelberechnung habe ich für den einen Winkel die Gerade die sich aus A2/A1 ergibt mit der Gerade die sich aus B1/A1 ergibt genommen, da habe ich einen Winkel von 89,05° Den zweiten Winkel habe ich aus der Gerade von D2/D1 und der Gerade von C1D1 berechnet und da einen Winkel von 76,74° ausgerechnet.
Aufgabe 3)Dazu habe ich erstmal die Mitte der Gebäudekante ausgerechnet und bin dann auf M(30/30/30) gekommen. Nun habe ich versucht mit dem Skalarprodukt nochmal zu überprüfen ob das so wirklich orthogonal ist, bin aber zu keinem richtigen Ergebnis gekommen. Denkfehler?
Aufgabe 4)Gibt es eine Formel um nachzuweisen, dass die Grundfläche ein Trapez ist? Oder kann man es nachweisen, indem zwei Seiten der Grundfläche Parallel sind und zwei nicht? Dann könnte es aber auch eine andere Figur sein als ein Trapez.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dann wollen wir mal. 
> Ein Stadtplaner wird beauftragt eine Ausstellungshalle zu
> entwerfen, dessen Wände nicht senkrecht auf dem Boden sein
> dürfen.
> Die Maße des ersten Entwurfes für die Grundfläche gibt
> es folgende Eckpunkte A1(0/0/0) B1(180/0/0) C1(160/240/0)
> D1(40/240/0). Die Eckpunkte für das Dach sind folgende
> sind A2(60/60/60) B2 (140/30/60) C2 (120/210/60) D2
> (60/180/60)
Ist das die originale Aufgabenstellung?
> Berechne beispielhaft zwei Winkel, die von einer
> seitlichen Gebäudekante zu einer unteren bzw. zu einer
> oberen Gebäudekante gebildet werden.
> Die Gebäudekante A1A2 soll durch einen zu ihr
> orthonogalen Stützpfeiler in der Halle abgestützt werden.
> Zeige, dass ein Pfeiler, der von der Mitte M der
> Gebäudekante zu seinem Fußpunkt F(45/45/0) reicht, dieser
> Bedingung genügt. Berechne die Länge des Pfeilers.
> Erläutere, dass es weite Möglichkeiten für den Fußpunkt
> gibt, viele davon aber statisch weniger geeignet sind als
> andere.
> Weise nach, dass die Grundfläche ein Trapez ist, die
> Dachfläche jedoch nicht. Verändere die Lage eines
> Dacheckpunkts so, dass die Dachfläche ebenfalls ein Trapez
> wird.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=522052
>
> Im Feld für Aufgabe eins habe ich erstmal die Daten die
> gegeben sind.
>
> Aufgabe 2)Für die Aufgabe der Winkelberechnung habe ich
> für den einen Winkel die Gerade die sich aus A2/A1 ergibt
> mit der Gerade die sich aus B1/A1 ergibt genommen, da habe
> ich einen Winkel von 89,05°
Falsch. Das sollten
[mm] \alpha\approx{54.74°}
[/mm]
sein [EDIT: Fehler korrigiert].
> Den zweiten Winkel habe ich
> aus der Gerade von D2/D1 und der Gerade von C1D1 berechnet
> und da einen Winkel von 76,74° ausgerechnet.
Das ist ein zweiter Winkel zwischen Grund- un d Gebäudekante. Ich habe ihn nicht nachjgerechnste, denke aber, die Aufgabe verlangtr hier eher einen Winkel ziwschen Gebaäudekante und Trauf- bzw. Dachkante.
> Aufgabe 3)Dazu habe ich erstmal die Mitte der Gebäudekante
> ausgerechnet und bin dann auf M(30/30/30) gekommen. Nun
> habe ich versucht mit dem Skalarprodukt nochmal zu
> überprüfen ob das so wirklich orthogonal ist, bin aber zu
> keinem richtigen Ergebnis gekommen. Denkfehler?
Wie soll man das denn beurteilen, wenn du deine Rechnung nicht angibst? Wir sind hier kein Hellseher-Forum!
Das Skalarprodukt [mm] \overrightarrow{MF}*\overrightarrow{A_1A_2} [/mm] sollte gleich Null sein, das musst du halt nachrechnen.
>
> Aufgabe 4)Gibt es eine Formel um nachzuweisen, dass die
> Grundfläche ein Trapez ist?
Ja: die Weltformel für alles. Aber sie wurde leider bisher noch nicht entdeckt.
> Oder kann man es nachweisen,
> indem zwei Seiten der Grundfläche Parallel sind und zwei
> nicht?
Das mit den 'zwei nicht' ist Unsinn: ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten, über die beiden anderen Seiten ist nichts gesagt. Also müssen zwei Seiten parallel bzw. hier die Vektoren der Gebäudekanten ein Vielfaches voneinander sein.
Gruß, Diophant
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Ich habe den Winkel aus Aufgabe 2 nochmal nachgerechnet.
gA1/A2= [mm] \vektor{60 \\ 60 \\ 60} [/mm] + s * [mm] \vektor{60 \\ 60 \\ 60}
[/mm]
gB1A1= [mm] \vektor{180 \\ 0 \\ 0} [/mm] + m * [mm] \vektor{180 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Dann hab ich [mm] \alpha [/mm] ausgerechnet und bin auf [mm] \alpha \approx [/mm] 54,73° gekommen, was falsch ist nur finde ich meinen Fehler nicht
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> Ich habe den Winkel aus Aufgabe 2 nochmal nachgerechnet.
> gA1/A2= [mm]\vektor{60 \\ 60 \\ 60}[/mm] + s * [mm]\vektor{60 \\ 60 \\ 60}[/mm]
>
> gB1A1= [mm]\vektor{180 \\ 0 \\ 0}[/mm] + m * [mm]\vektor{180 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Dann hab ich [mm]\alpha[/mm] ausgerechnet und bin auf [mm]\alpha \approx[/mm]
> 54,73° gekommen, was falsch ist nur finde ich meinen
> Fehler nicht
Hallo,
ich habe 54,74° ausgerechnet.
Wieso ist das falsch?
Ich find's richtig.
LG Angela
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Sind meine Geraden denn richtig gebildet?
In der Antwort zuvor wurde mir zu diesen, also A1/a2 B1/A1 ein Winkel von 89,98° gesagt.
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Hallo,
> Sind meine Geraden denn richtig gebildet?
> In der Antwort zuvor wurde mir zu diesen, also A1/a2 B1/A1
> ein Winkel von 89,98° gesagt.
Sorry, das war mein Fehler. Ich hatte mich wohl vertippt.
[mm] \alpha\approx{54.74}
[/mm]
ist die richtige Lösung.
Deine Geradengleichungen sind schon richtig, aber wozu benötigst du sie? Um einen Winkel zu berechnen, benötigt man nur zwei Vektoren, und das sin hier die Richtungsvektoren.
Gruß, Diophant
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Zu Aufgabe 4, also zu dem Beweis, dass die Grundfläche ein Trapetz ist.
Ich habe den Vektor von [mm] \overline{A1/D1} [/mm] gebildet und kam auf [mm] \vektor{40 \\ 240\\ 0} [/mm] Für den Vektor von [mm] \overline{B1/C1} [/mm] habe ich [mm] \vektor{-20 \\ 240\\ 0} [/mm] also kein vielfaches. Für den Vektor von [mm] \overline{A1/B1} [/mm] habe ich [mm] \vektor{180 \\ 0 \\ 0} [/mm] Von [mm] \overline{D1/C1} [/mm] habe ich den Vektor [mm] \vektor{120 \\ 0 \\ 0} [/mm] also auch kein vielfaches. Nach Aufgabenstellung muss es hier eine parallelität geben.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mi 22.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und
> Zu Aufgabe 4, also zu dem Beweis, dass die Grundfläche ein
> Trapetz ist.
> Ich habe den Vektor von [mm]\overline{A1/D1}[/mm] gebildet und kam
> auf [mm]\vektor{40 \\ 240\\ 0}[/mm] Für den Vektor von
> [mm]\overline{B1/C1}[/mm] habe ich [mm]\vektor{-20 \\ 240\\ 0}[/mm] also kein
> vielfaches. Für den Vektor von [mm]\overline{A1/B1}[/mm] habe ich
> [mm]\vektor{180 \\ 0 \\ 0}[/mm] Von [mm]\overline{D1/C1}[/mm] habe ich den
> Vektor [mm]\vektor{120 \\ 0 \\ 0}[/mm] also auch kein vielfaches.
Überprüfe mal [mm] \vektor{180\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{120\\0\\0} [/mm] auf Parallelität. Beachte, dass der Faktor, mit dem du den einen Vektor multiplizieren musst, nicht unbedingt ganzzahlig sein muss.
> Nach Aufgabenstellung muss es hier eine parallelität
> geben.
Gibt es auch.
Marius
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Ich habe nochmal eine Rückfrage zu Aufgabe 3.
Es geht dort um den STützpfeiler, dessen Fußpunkt in (45/45/0) liegt und zu Mitte der Gebäude Kante A1/A2 reichen soll. Nach meiner Rechung liegt der Mittelpunkt in (30/30/30)
Um die Orthogonalität zu prüfen habe ich das Skalarprodukt gebildet.
[mm] \overline{FM}*\overline{A1/A2}=(-15)*60+(-15)*60+30*60=0 [/mm] somit ist die Orthogonalität bewiesen.
Die weitere Fragestellung lautet, warum genau dieser Fußpunkt den best möglichen darstellt.
Dazu habe ich mir gedacht, dass dieser Punkt gegeben sein muss, damit der Pfeiler orthogonal zur Gebäudekante steht, somit also am besten stützen kann als ein Pfeiler, welcher nicht orthogonal steht. Oder gibt es dazu einen anderen Grund?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mi 22.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich habe nochmal eine Rückfrage zu Aufgabe 3.
> Es geht dort um den STützpfeiler, dessen Fußpunkt in
> (45/45/0) liegt und zu Mitte der Gebäude Kante A1/A2
> reichen soll. Nach meiner Rechung liegt der Mittelpunkt in
> (30/30/30)
> Um die Orthogonalität zu prüfen habe ich das
> Skalarprodukt gebildet.
> [mm]\overline{FM}*\overline{A1/A2}=(-15)*60+(-15)*60+30*60=0[/mm]
> somit ist die Orthogonalität bewiesen.
Korrekt
> Die weitere Fragestellung lautet, warum genau dieser
> Fußpunkt den best möglichen darstellt.
> Dazu habe ich mir gedacht, dass dieser Punkt gegeben sein
> muss, damit der Pfeiler orthogonal zur Gebäudekante steht,
> somit also am besten stützen kann als ein Pfeiler, welcher
> nicht orthogonal steht. Oder gibt es dazu einen anderen
> Grund?
Dieser Pfeiler kann in der Tat die Deckenlast am besten Abfangen, da er nur eine Druckbelastung erfährt. Jeder andere schiefe Pfeiler würde durch sein Eigengewicht zum Durchbiegen neigen, und damit nicht nur Druckkräfte aufnehmen.
Marius
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Könntest du mir bitte die Sache mit dem Pfeiler nochmal erklären? So ganz klar wurde mir das jetzt noch nicht.
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> Könntest du mir bitte die Sache mit dem Pfeiler nochmal
> erklären? So ganz klar wurde mir das jetzt noch nicht.
Hallo,
ich hab' die Erklärung auch nicht so recht verstanden - hab' aber von Bauen, Pfeilern usw. auch ziemlich wenig Ahnung.
So wie ich die Frage verstehe, geht es darum, weshalb dieser Stützpfeiler unter allen Pfeilern, die orthogonal zu [mm] \overline{A_1A_2} [/mm] sind und in M enden, der beste ist.
Ich erkläre mir das mit meinem Hausfrauenverstand so:
Die zu stützende Kante verläuft von [mm] A_1(0|0|0) [/mm] nach [mm] A_2(60|60|60). [/mm] Würde diese Kante runterkrachen, würde sie in der xy-Ebene zu liegen kommen. Punkt [mm] A_1 [/mm] würde da bleiben, wo er ist, und die Kante würde entlang des Vektors [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] liegen. (Das Kantenende wäre in [mm] (30\wurzel{6}|30\wurzel{6}|0) [/mm] - ist aber nicht so wichtig.)
Der orthogonale Pfeiler zwischen M und F(45|45|0) befindet sich in der "Fallebene" der Kante, stützt also dort, wo es nötig ist. Er ist genau unter der Kante.
Jeder andere, in M fixierte und zu [mm] \overline{A_1A_2} [/mm] orthogonale Pfeiler wäre nicht in dieser Ebene sondern seitlich von dieser und könnte somit das Gewicht der zu stützenden Kante nicht abfangen.
Am besten machst Du Dir das mal mit 2 Stiften klar.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:42 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Dasmilkalein |
| Aufgabe | | Auf das ebene Dach der Halle soll nach dem erweiterten Entwurf der Architekten noch eine halbkugelförmige Kuppel gesetzt werden. Erläutere, wie man den Mittelpunkt und den Radius der Halbkugel berechnen kann, wenn die Dacheckpunkte A2 und C2 auf der Halbkugelunterkante liegen sollen. (Die Rechnung soll nicht durchgeführt werden) |
Danke nachdem ich mir das mal 2-Dimensional aufgezeichnet habe hab ich es verstanden.
So nun zu der weiteren Aufgabe. Ich hab mir dazu überlegt, dass man mit dem Betrag des Vektors [mm] \overline{A2/C2} [/mm] den Durchmesser der Halbkugel hat. Die hälfte vom Durchmesser ist der Radius, also hat man den so schon mal. Da es sich um eine Kuppel handelt sollte sie rund sein und der Mittelpunkt sollte genau in der Mitte des Durchmessers liegen, dies ist jedoch nur eine Vermutung von mir.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Auf das ebene Dach der Halle soll nach dem erweiterten
> Entwurf der Architekten noch eine halbkugelförmige Kuppel
> gesetzt werden. Erläutere, wie man den Mittelpunkt und den
> Radius der Halbkugel berechnen kann, wenn die Dacheckpunkte
> A2 und C2 auf der Halbkugelunterkante liegen sollen. (Die
> Rechnung soll nicht durchgeführt werden)
>
> Danke nachdem ich mir das mal 2-Dimensional aufgezeichnet
> habe hab ich es verstanden.
> So nun zu der weiteren Aufgabe. Ich hab mir dazu
> überlegt, dass man mit dem Betrag des Vektors
> [mm]\overline{A2/C2}[/mm] den Durchmesser der Halbkugel hat. Die
> hälfte vom Durchmesser ist der Radius, also hat man den so
> schon mal. Da es sich um eine Kuppel handelt sollte sie
> rund sein und der Mittelpunkt sollte genau in der Mitte des
> Durchmessers liegen, dies ist jedoch nur eine Vermutung
> von mir.
Die Aufgabe wird immer merkwürdiger. Ist dir klar, dass es unendlich viele solcher Halbkugeln gibt, wie in der Aufgabe gefordert? Entweder der Aufgabensteller war hier sehr nachlässig, oder du hast uns Teile der Aufgabe vorenthalten.
Mit deiner Methode bekommt man jedenfalls diejenige Halbkugel, deren Mittelpunkt die Mitte der Strecke [mm] A_2C_2 [/mm] ist. Ein Kugelmittelpunkt liegt weiters stets in der Mitte des Durchmessers, das haben die Dinger so an sich. Von daher sind deine Erläuterungen ab Da es sich um eine Kuppe landelt unnötig.
Gruß, Diophant
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> Auf das ebene Dach der Halle soll nach dem erweiterten
> Entwurf der Architekten noch eine halbkugelförmige Kuppel
> gesetzt werden. Erläutere, wie man den Mittelpunkt und den
> Radius der Halbkugel berechnen kann, wenn die Dacheckpunkte
> A2 und C2 auf der Halbkugelunterkante liegen sollen. (Die
> Rechnung soll nicht durchgeführt werden)
Hallo,
ist das der exakte Aufgabentext?
Darf die Halbkugel über die Dachfläche hinausragen?
LG Angela
P.S.: Welcher Quelle entspringt diese Aufgabe?
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Das ist der genaue Wortlaut der Aufgabenstellung, die wurde von meiner Mathelehrerin selber verfasst.
Ich habe das mal in ein Koordinatensystem eingetragen das blaue ist die Grundfläche, das rote die Dachfläche und nach dem was mir gegeben ist müsste das schwarze die Kuppel sein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Das ist der genaue Wortlaut der Aufgabenstellung, die wurde
> von meiner Mathelehrerin selber verfasst.
Hallo,
eine Meisterleistung...
Ich verstehe, was Du gemacht hast, und das, was Du beschreibst, paßt zu Deiner Zeichnung.
Das wäre eine mögliche Lösung.
Ich könnte aber, wenn ich wollte, auch eine Halbkugel finden, deren Radius 1234 km ist, und auf deren Rand [mm] A_2 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] liegen.
Daß dies mglich ist, ist doch ziemlich bekloppt.
Ich frage mich daher, ob die Lehrerin bei der Formulierung dieser Teilaufgabe etwas vergessen hat, etwa die Forderung, daß die Halbkugel nicht über die Grenzen der Grundfläche ragen darf oder sowas in der Art.
LG Angela
> Ich habe das mal in ein Koordinatensystem eingetragen das
> blaue ist die Grundfläche, das rote die Dachfläche und
> nach dem was mir gegeben ist müsste das schwarze die
> Kuppel sein.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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Das du auch einen so großen Radius haben kannst und dass die Halbkugel dennoch auch den Punkten liegt ist mir zwar nicht wirklich klar, ist aber auch nicht wichtig, dar ich nur erklären soll und nicht rechnen und zur erklärung reicht das ja soweit.
Danke an alle die mir geholfen haben
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