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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils die Basiswechselmatrix [mm] _aM_b(id) [/mm] für die Basen:
a) a=( [mm] \vektor{1 \\ 1\\1}, \vektor{1 \\ 1\\0}, \vektor{1 \\ 0\\0}), [/mm] b= [mm] (\vektor{1 \\ 2\\5}, \vektor{1 \\ 1\\3}, \vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] im [mm] R^3.
[/mm]
b) a=(1, (x-1),(x-1)²), b=(1, (x+2), (x+2)²) in [mm] P_2 [/mm] (Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2).
Dabei ist nicht zu zeigen, dass a und b tatsächlich Basen sind. |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich verstehe den Grundgedanken, aber mir fehlt irgendwie der Ansatz wie ich anfangen soll. Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte. Danke...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch mal auf, was die Basiswechselmatrix tun soll! Und schon hast du das Gleichungssystem, das du lösen musst!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Do 21.06.2007 | | Autor: | CPH |
Hallo,
Wenn ich deine Schreibweise richtig verstehe sollst du die Matrix des Basiswechsels von Basis a nach basis b bestimmen.
Nehme dazu den ersten vektor aus deiner Basis a und bilde ihn mit der identität ab(, dann kommt er selbst wieder geraus.)
nun stellst du diesen Vektor als linearkombination der Vektoren aus Basis b dar.
du bekommst also [mm] \vec{a_1}= x_1 \vec{b_1}+ x_2 \vec{b_2} [/mm] + [mm] x_3 \vec{b_3}.
[/mm]
dann ist der Vektor
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] der erste spaltenvektor deiner gesuchten matrix.
wenn du den zweiten vektor aus der basis a genauso behandelsts, bekommst du den 2. Spaltenvektor deiner Matrix.
Wieh sieht es wohl beim 3. aus?
Es gilt immer [mm] M_{ab} [/mm] (basiswechsel von a nach b) = [mm] M_{ba}^{-1}
[/mm]
Man kann aber [mm] M_{ba} [/mm] auch alternativ wie oben bestimmen, in dem man die Rollen der Basen a und b vertauscht.
MfG
Christoph
PS: Ich hoffe, das hilft dir weiter. Es ist aufjedenfall ein sehr schöner algorithmus um Basiswechselmatrizen zu bestimmen.
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Hallo,
> nun stellst du diesen Vektor als linearkombination der
> Vektoren aus Basis b dar.
>
> du bekommst also [mm]\vec{a_1}= x_1 \vec{b_1}+ x_2 \vec{b_2}[/mm] +
> [mm]x_3 \vec{b_3}.[/mm]
>
> dann ist der Vektor
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] der erste spaltenvektor deiner
> gesuchten matrix.
Kann mir jemand diesen Schritt noch einmal genauer erklären. Ich verstehe die Sache an sich, weiß aber nicht wie ich sie mit meinen gegebenen Zahlen in Verbindung bringen soll. Ein Beispiel wäre toll, wenn es nicht zu viel verlangt ist. LG...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Fr 22.06.2007 | | Autor: | superstar |
Also, ich habe das mal probiert so zu rechnen wie ich das verstanden habe.
r* [mm] \vektor{1 \\ 1\\1}+s* \vektor{1 \\ 1\\0}+t* \vektor{1 \\ 0\\0}= \vektor{1 \\ 2\\5}=v_1
[/mm]
1r=5
1r+1s=2
(1*5)+1s=2
s= -3
1r+1s+1t=1
(1*5)+ (1*(-3))+ 1t=1
5-3 +1t=1
t= -1
[mm] (5,-3,-1)^T= \vektor{5 \\ -3\\-1}
[/mm]
Und so würde ich das dann weiter machen...stimmt das so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Methode ist richtig, die Zahlen hab ich nicht überprüft.
Wenn man die rechten Seiten alle gleichzeitig hinschreibt, kann man Zeit sparen, wei die linken Seiten ja immer gleich bleibt.
Gruss leduart
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Und wie funktioniert die b????
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Hallo,
da die Schreibweisen recht uneinheitlich sind, vorweg folgendes:
Ich gehe davon aus, daß mit $ [mm] _aM_b(id) [/mm] $ die Matrix gemeint ist, welche Vektoren, die in Koordinaten bzgl. a angeben sind, in solche bzgl. b transformiert.
Man muß also die Basisvektoren in der Basis a als Linearkombination derer in b darstellen. Die Jeweiligen Koeffizienten ergeben die Spalten der gesuchten Matrix.
Also die Koeffizienten berechnen in:
[mm] \vektor{1 \\ 0\\0}_a=1*1= r_1_1*1+s_2_1*(x+2)+t_3_1(x+2)^2=\vektor{r_1_1 \\ s_2_1\\t_3_1}_b
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1\\0}_a=1*(x-1)= r_1_2*1+s_2_2*(x+2)+t_3_2(x+2)^2=\vektor{r_1_2 \\ s_2_2\\t_3_2}_b
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0\\1}_a=1*(x-1)^2= r_1_3*1+s_2_3*(x+2)+t_3_3(x+2)^2=\vektor{r_1_3 \\ s_2_3\\t_3_3}_b
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo, ich arbeite auch gerade an der Aufgabe. Die Schritte bisher verstehe ich, aber mir leuchtet noch nicht recht ein, wie ich jetzt die b) ausrechnen soll. Wie angela darauf gekommen ist, ist mir klar, aber der Rechenweg noch nicht ganz. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte. Danke...
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> Hallo, ich arbeite auch gerade an der Aufgabe. Die Schritte
> bisher verstehe ich, aber mir leuchtet noch nicht recht
> ein, wie ich jetzt die b) ausrechnen soll.
Hallo,
Du mußt nun hier die Koeffizienten [mm] r_1_1, s_2_1, t_3_1 [/mm] berechnen:
>> [mm] \vektor{1 \\ 0\\0}_a=1\cdot{}1= r_1_1\cdot{}1+s_2_1\cdot{}(x+2)+t_3_1(x+2)^2=\vektor{r_1_1 \\ s_2_1\\t_3_1}_b
[/mm]
Dazu schaust Du [mm] 1\cdot{}1= r_1_1\cdot{}1+s_2_1\cdot{}(x+2)+t_3_1(x+2)^2 [/mm] an und machst einen Koeffizientenvergleich.
(In den beiden anderen Gleichungen entsprechend.)
Gruß v. Angela
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