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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 So 09.05.2010 | | Autor: | maba |
| Aufgabe | Es sei V der Vektorraum der Polynome über [mm] \IR [/mm] vom Grad höchstens 3 in der
Veränderlichen x, und W der Untervektorraum von V der Polynome vom
Grad höchstens 2. Ferner sei g : W [mm] \to [/mm] V die Abbildung gegeben durch
Multiplikation mit x − 2. Warum ist g linear?
(a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M C1,B1(g) von g bezüglich der Basis
C1 = (1, x, [mm] x^2) [/mm] von W und B1 = (1, x, [mm] x^2, x^3) [/mm] von V .
(b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M C2,B2(g) von g bezüglich der Basis
C2 = (1, 2(x − 2), 3(x − [mm] 2)^2) [/mm] von W und B2 = (1, 2(x − 2), 3(x − [mm] 2)^2, [/mm] 4(x − [mm] 2)^3) [/mm] von V .
(c) Bestimmen Sie die Transformationsmatrizen M C2,C1 (idV ) und M B1,B2 (idW)
und überprüfen Sie, dass die Abbildungsmatrizen aus Teil (a) und (b)
die Transformationsformel
M C2,B2 (g) = M B1,B2 (idV ) * M C1,B1 (g) * M C2,C1 (idW)
erfüllen. |
Hallo,
mir fehlen leider gänzlich die Ansätze, das Einzige was ich weiß ist, dass die Abbildung linear ist.
Bitte gebt mir einen Tipp bzw. einen Ansatz oder auch den Weg zur Lösung.
Danke,
maba
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 So 09.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, g ist linear. Hast du das auch schon gezeigt?
Aber nun wird es wichtig: Du musst eine Darstellungsmatrix aufstellen. Hast du das schon einmal gemacht?
Grob gesagt geht das so:
Du nimmst den 1. Basisvektor von W (also die 1) und bildest diese unter g ab.
g(1)=x-2. Das, was du rausbekommst (also x-2) musst du dann als Linearkombination der Basis aus V darstellen. [mm] x-2=(-2)*1+1*x+0*x^2+0*x^3. [/mm] Damit lautet die 1. Spalte deiner Darstellungsmatrix -2 1 0 0.
Das gleiche machst du mit x und [mm] x^2.
[/mm]
In b) das gleiche Spiel, nur dass du vielleicht etwas mehr rechnen musst, da die Basis nicht mehr so "schön" ist.
In c) musst du dann erneut 2 Darstellungsmatrizen berechnen, aber diesmal nicht von g, sondern von der Identität. Dann einfach in die Formel einsetzen und schauen, ob alles passt.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Aufgabe | Es sei V der Vektorraum der Polynome über $ [mm] \IR [/mm] $ vom Grad höchstens 3 in der
Veränderlichen x, und W der Untervektorraum von V der Polynome vom
Grad höchstens 2. Ferner sei g : W $ [mm] \to [/mm] $ V die Abbildung gegeben durch
Multiplikation mit x − 2. Warum ist g linear?
(a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M C1,B1(g) von g bezüglich der Basis
C1 = (1, x, $ [mm] x^2) [/mm] $ von W und B1 = (1, x, $ [mm] x^2, x^3) [/mm] $ von V .
(b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M C2,B2(g) von g bezüglich der Basis
C2 = (1, 2(x − 2), 3(x − $ [mm] 2)^2) [/mm] $ von W und B2 = (1, 2(x − 2), 3(x − $ [mm] 2)^2, [/mm] $ 4(x − $ [mm] 2)^3) [/mm] $ von V .
(c) Bestimmen Sie die Transformationsmatrizen M C2,C1 (idV ) und M B1,B2 (idW)
und überprüfen Sie, dass die Abbildungsmatrizen aus Teil (a) und (b)
die Transformationsformel
M C2,B2 (g) = M B1,B2 (idV ) * M C1,B1 (g) * M C2,C1 (idW)
erfüllen. |
Scheint wohl das gleiche Übungsblatt zu sein, das der Threadersteller auch hat....
Bei Aufgabenteil C, kann es da sein, dass die Matrix M B1,B2(idw) so aussieht?
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & -48 \\ 0 & 1/2 & 2 & 32 \\ 0 & 0 & 1/3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1/4 \\ }
[/mm]
Die Zahlen in der dritten Spalte kommen mir eigenartig vor... ich habe sie so ausgerechnet:
[mm] idw(x^3)=x^3=-48*1 [/mm] + 32 * 2 (x-2) + 8 * 3 [mm] (x-2)^2 [/mm] + (1/4) * [mm] 4(x-2)^3 [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Di 11.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die 3. und 4 Spalte stimmen nicht. Am besten du rechnest das nochmal nach mit einem Gleichungssystem!
Teufel
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