Basiswechsel einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Sa 01.03.2008 | | Autor: | tibbery |
| Aufgabe | Gegeben seien w1, w2, w3, w4 mit
w1= [mm] \vektor{1/1/-3/2/-1} [/mm]
w2= [mm] \vektor{0/-2/6/2/4} [/mm]
w3= [mm] \vektor{1/1/-2/0/4} [/mm] und
w4= [mm] \vektor{2/-2/3/0/-1}
[/mm]
Sei U der Teilvektorraum, der von w1,w2,w3,w4 aufgespannt wird.
Zeigen sie, dass w1,w2,w3,w4 eine Basis von U bilden.
Zeigen sie, dass v1,v2,v3,v4 mit
v1= [mm] \vektor{-2/2/-9/-2/-21} [/mm]
v2= [mm] \vektor{1/-7/14/-4/-4} [/mm]
v3= [mm] \vektor{4/-2/5/2/11} [/mm] und
v4= [mm] \vektor{-1/9/-21/4/-5}
[/mm]
ebenfalls eine Basis von U bilden.
Berechnen sie die Matrix S= (s ik) [mm] \in \IR [/mm] (4x4) mit
w k = [mm] \summe_{i=1}^{4} [/mm] s ik v i für k=1,2,3,4.
(i und k sollen Indizes sein) |
Hallo! Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich im richtigen Forum bin... hab so eine Aufgabenstellung aber nicht finden können.
Also, das Problem ist folgendes:
Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass die "w's" linear unabhängig sind. Dazu benutze ich den Gauß?
Um nun zu zeigen, das die "v's" ebenfalls eine Basis von U sind, muss ich doch nichts weiter tun,als zu zeigen,dass sie ebenfalls lin. unabhängig sind, richtig? Muss ich da sonst noch etwas weiteres tun?
Das eigentliche Problem ist der letzte Aufgabenteil. Ganz salopp ausgedrückt steht da ja : w= s mal v
Wenn ich nun also die "w's" als Matrix den "v's" als Matrix gleichsetze, welche der beiden muss ich dann zur Einheitsmatrix machen, um auf S zu kommen? (Das habe ich noch nie verstanden)
Mir reicht eine theoretische Antwort völlig. Dieses Matrizenabgetippe ist wahrlich nicht spaßig und es ist auch gut möglich, dass ich oben irgendeine Zahl falsch abgetippt habe!
Vielen Dank im Vorraus!
und: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Juliane
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> Gegeben seien w1, w2, w3, w4 mit
> w1= [mm]\vektor{1/1/-3/2/-1}[/mm]
> w2= [mm]\vektor{0/-2/6/2/4}[/mm]
> w3= [mm]\vektor{1/1/-2/0/4}[/mm] und
> w4= [mm]\vektor{2/-2/3/0/-1}[/mm]
>
> Sei U der Teilvektorraum, der von w1,w2,w3,w4 aufgespannt
> wird.
>
> Zeigen sie, dass w1,w2,w3,w4 eine Basis von U bilden.
> Zeigen sie, dass v1,v2,v3,v4 mit
>
> v1= [mm]\vektor{-2/2/-9/-2/-21}[/mm]
> v2= [mm]\vektor{1/-7/14/-4/-4}[/mm]
> v3= [mm]\vektor{4/-2/5/2/11}[/mm] und
> v4= [mm]\vektor{-1/9/-21/4/-5}[/mm]
>
> ebenfalls eine Basis von U bilden.
>
> Berechnen sie die Matrix S= (s ik) [mm]\in \IR[/mm] (4x4) mit
>
> w k = [mm]\summe_{i=1}^{4}[/mm] s ik v i für k=1,2,3,4.
>
>
> (i und k sollen Indizes sein)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du findest Eingabehilfen für den Formeleditor unterhalb des Eingabefensters.
Damit ist das Setzen von Indizes dann verhältnismäßig einfach, ebenso wie das Eingeben von Matrizen und Spaltenvektoren.
> Also, das Problem ist folgendes:
> Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass die "w's" linear
> unabhängig sind. Dazu benutze ich den Gauß?
Ja.
> Um nun zu zeigen, das die "v's" ebenfalls eine Basis von U
> sind, muss ich doch nichts weiter tun,als zu zeigen,dass
> sie ebenfalls lin. unabhängig sind, richtig? Muss ich da
> sonst noch etwas weiteres tun?
Wenn Du nur zeigst, daß sie linear unabhängig sind, ist das noch nicht sehr aussagestark. Damit weißt Du dann, daß sie einen vierdimensionalen Unterraum aufspannen, aber ob es U ist, weiß man damit noch nicht.
Du mußt ja noch zeigen, daß sie U erzeugen.
> Wenn ich nun also die "w's" als Matrix den "v's" als
> Matrix gleichsetze, welche der beiden muss ich dann zur
> Einheitsmatrix machen, um auf S zu kommen? (Das habe ich
> noch nie verstanden)
Die rechte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 01.03.2008 | | Autor: | tibbery |
Danke für die schnelle Antwort Angela!
Also, ich habs mal so rum probiert und die "rechte" seite zur Einheitsmatrix gemacht. Das stellte sich als ziemlich schwierig heraus, denn die Werte schnellen schnurstracks in die Höhe.
Meine Alternative dazu wäre jetzt: Ich bringe die linke seite (also die "w's" ) auf En und dann steht rechts die Inverse von S. Ist das korrekt? Geht nämlich viel einfacher ;)
Zum Vektorraum U: Reicht es, wenn ich beide Matrixen simultan in Stufenform bringe? (und was sagt mir das dann? wann bilden sie denn nun einen Verktorraum?)
Vielen Dank nochmal,
Juliane
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> so, ich habs mal so rum probiert und die "rechte" seite
> zur Einheitsmatrix gemacht. Das stellte sich als ziemlich
> schwierig heraus, denn die Werte schnellen schnurstracks in
> die Höhe.
> Meine Alternative dazu wäre jetzt: Ich bringe die linke
> seite (also die "w's" ) auf En und dann steht rechts die
> Inverse von S. Ist das korrekt? Geht nämlich viel einfacher
> ;)
Hallo,
ja, so kannst Du das machen.
>
> Zum Vektorraum U: Reicht es, wenn ich beide Matrixen
> simultan in Stufenform bringe? (und was sagt mir das dann?
> wann bilden sie denn nun einen Verktorraum?)
Hierzu sage ich nur etwas, wenn ich's sehe. Die Gefahr von Mißverständnissen ist mir sonst zu groß.
Gruß v. Angela
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