Basiswechsel Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Finden sie die Matrix, welche die Matrix [mm] \pmat{ 12 & 5 \\ -30 & -13 } [/mm] diagonalisiert und stellen sie den Koordinatenvektor(bezüglich der alten Basis) [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] in der neuen Basis dar. |
Hallo,
ich habe die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix bestimmt( 2, [mm] \vektor{a \\ -2a} [/mm] ; -3, [mm] \vektor{b \\ -3b} [/mm] und die Matrix diagonalisiert. Jetzt will ich den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] in der neuen Basis, also mit den Eigenvektoren als Basis darstellen. Leider hab ich keine Ahnung wie ich das machen solln, muss ich den Vektor mit der diagonalisierenden matrix multiplizieren? oder mit der Inversen? Oder sonst irgendwie eine linear Kombination finden?
*etwas hilflos bin* Vielen Dank für eure Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
> Finden sie die Matrix, welche die Matrix [mm]\pmat{ 12 & 5 \\ -30 & -13 }[/mm]
> diagonalisiert und stellen sie den
> Koordinatenvektor(bezüglich der alten Basis) [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> in der neuen Basis dar.
> Hallo,
> ich habe die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
> bestimmt( 2, [mm]\vektor{a \\ -2a}[/mm] ; -3, [mm]\vektor{b \\ -3b}[/mm] und
> die Matrix diagonalisiert. Jetzt will ich den Vektor
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] in der neuen Basis, also mit den
> Eigenvektoren als Basis darstellen.
Hallo,
es ist also [mm] \vektor{1 \\ -2} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 und [mm] \vektor{1 \\ -3} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert -3.
Die beiden kannst Du als als neue Basis B=( [mm] \vektor{1 \\ -2},\vektor{1 \\ -3}) [/mm] der [mm] \IR^3 [/mm] verwenden, und bzgl. dieser Basis hat die Matrix von ganz oben die Gestalt [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -3 }, [/mm] denn der erste Basisvektor verdoppelt sich, und der zweite verdreifacht sich.
Was Dir jetzt noch fehlt, ist die Transformationsmatrix, die Matrix T mit [mm] T^{-1}\pmat{ 12 & 5 \\ -30 & -13 }T=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -3 }.
[/mm]
T ist die Matrix, welche Dir B in kanonischen Koordinaten liefert, also [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -2 & -3 }.
[/mm]
[mm] T^{-1} [/mm] erhältst Du, indem Du invertierst, oder indem Du Dir überlegst/berechnest, wie Du [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] bezgl der Basis B schreiben kannst,
also [mm] \vektor{1 \\ 0}=a\vektor{1 \\ -2}+b\vektor{1 \\ -3},
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1}=c\vektor{1 \\ -2}+d\vektor{1 \\ -3}
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Tigerkatze |
Danke für die ausführliche Antwort!
|
|
|
|
