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| Aufgabe | Es seien mit
[mm] b_1:= \vektor{1 \\ 2} [/mm] , [mm] b_2:= \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] b_1':= \vektor{5 \\ 3} [/mm] , [mm] b_2':= \vektor{3 \\ 2}
[/mm]
bzw.
[mm] c_1:= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] c_2:= \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] c_3:= \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] c_1':= \vektor{\wurzel{2} \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] c_2':= \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] c_3':= \vektor{1 \\ 0 \\ \wurzel{2}}
[/mm]
Basen in den reellen Vektorräumen [mm] \IR^{2} [/mm] bzw. [mm] \IR^{3} [/mm] gegeben. Ferner sei eine lineare Abbildung
[mm] L:\IR^{2} \to \IR^{3} [/mm] , [mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{1 \\ 1} \mapsto \lambda_2 \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda_2)\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] - [mm] \lambda_1 \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
gegeben.
(a) Ermitteln Sie die Darstellungsmatrix A von L bzgl. der Basen [mm] b_1; b_2 [/mm] und [mm] c_1; c_2; c_3.
[/mm]
(b) Berechnen Sie die Darstellungsmatrizen T bzw. U der Koordinatentransformationen zum Basiswechsel
von [mm] b_1; b_2 [/mm] zu [mm] b_1' [/mm] ; [mm] b_2' [/mm] bzw. von [mm] c_1; c_2; c_3 [/mm] zu [mm] c_1'; c_2'; c_3'.
[/mm]
(c) Berechnen Sie die Darstellungsmatrix A' von L bzgl. der Basen [mm] b_1'; b_2' [/mm] und [mm] c_1'; c_2'; c_3'. [/mm] |
Hallo erstmal!
Also ich habe einige Probleme mit dieser Aufgabe.
Ich habe zunächst die Die Basisvektoreen auf die funktion losgelassen und dann versucht sie in der Basis C darzustellen.
Nun weiss ich aber nicht welche Basisvektoren...
Ich schreib mal was ich gemacht habe :
zu a)
1. Basisvektor auf L losgelassen
[mm] L(\vektor{1 \\ 2}) [/mm] = 1 [mm] *\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + (1 [mm] -2)*\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] - 1* [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
bzgl C : [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
2. Basisvektor auf L losgelassen
[mm] L(\vektor{1 \\ 1}) [/mm] = 1 [mm] *\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + (1 [mm] -1)*\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] - 1* [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
bzgl C : [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
Also wäre [mm] M_B_C [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 }
[/mm]
zu b)
Sei T die Tranformationsmatrix von b nach b' :
Stelle [mm] b_1 [/mm] als lin. Kombi. von [mm] b_1' [/mm] und [mm] b_2' [/mm] , also [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = 1 * [mm] b_1' [/mm] - [mm] 1*b_2' =\vektor{1 \\ -1} [/mm] (erste Spalte der Trafo-Matrix)
Stelle [mm] b_2 [/mm] als lin. Kombi. von [mm] b_1' [/mm] und [mm] b_2' [/mm] , also [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = ... [mm] \vektor{4 \\ -5}
[/mm]
Also T = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 4 & -5 }
[/mm]
Bevor ich weiterrechne wollte ich fragen ob das alles so korrekt ist ,nicht das ich nachher am anfang nen Fehler gemacht habe und alles nochmal rechnen muss.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> Bevor ich weiterrechne wollte ich fragen ob das alles so korrekt ist ,nicht das ich nachher am anfang nen Fehler gemacht habe und alles nochmal rechnen muss.
Gute Vorahnung. 
a)
[mm] M_{BC}*(e_1)_B=L((e_1)_B)=L(1*\vektor{1 \\ 2})=1*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}-1*\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}=\vektor{0\\1\\-1}_C=\pmat{ 0 & \ast \\ 1 & \ast \\ -1 & \ast}*(e_1)_B
[/mm]
Für [mm] (e_2)_B [/mm] nun auch noch...
b)
> [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] $ = 1 * $ [mm] b_1' [/mm] $ - $ [mm] 1\cdot{}b_2' =\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
Nee, stimmt doch gar nicht : [mm] \vektor{5 \\ 3}-\vektor{3 \\ 2}=\vektor{2\\1}
[/mm]
Sicherer gehts, wenn du erst die Transformationen in die Einheitsbasis [mm] E_2 [/mm] errechnest. Dann ist [mm] T=T_{E_2\to B'}*T_{B\to E_2} [/mm] , wobei [mm] T_{E_2\to B'}=T_{B'\to E_2}^{-1}.
[/mm]
Wenns es richtig gewesen wäre , dann würde folgen : [mm] \vektor{1 \\ 0}_B=\vektor{1 \\ 2}=\vektor{1 \\ -1}_{B'}
[/mm]
Damit [mm] T*\vektor{1 \\ 0}_B=\vektor{1 \\ -1}_{B'} [/mm] muss gelten [mm] T=\pmat{ 1 & \ast \\ -1 & \ast }
[/mm]
Ciao.
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Ahhh..also doch die einheitsvektoren...
also dann habe ich beim 2. [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0} [/mm] bzgl B und bzgl C [mm] =\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] raus.
also ist [mm] M_B_C [/mm] : [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 0 }.
[/mm]
Und zu b) .. da hab ich mich verrechnet.
es ist [mm] b_1 [/mm] bzgl [mm] b_1' [/mm] und [mm] b_2' [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 7} [/mm]
und [mm] b_2 [/mm] bzgl [mm] b_1' [/mm] und [mm] b_2' [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm]
also : [mm] \pmat{ -4 & -1 \\ 7 & 2 } [/mm] = T ...ist das richtig ? 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zneques |
> beim 2. $ [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0} [/mm] $ bzgl B
??? B ist doch nur 2-dim.
Du meintest sicher [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] bzgl. B.
> ...ist das richtig ?
Ansonsten ist es so, wie es sein sollte. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ciao.
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