Basiswechsel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:22 Di 16.03.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, ich habe folgendes Problem bei einer Aufgabe: "Sei [mm] A:\IR^3 \to \IR^3[/mm] eine lineare Abbildung, so dass gilt [mm]A((1,2,3)) = (3,2,1) , A((1,1,1)) = (1,-1,1)[/mm] und[mm] A((1,-1,1)) = (0,0,1)[/mm]. Bestimmen sie die Matrix von A in der Standardbasis. "
So bei der Lösung dieses Problems hab ich mir gedacht:[mm]A* \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm] Oder [mm]A*X=B[/mm] so ist[mm] A=B*X^-1[/mm] Dieses Ergebnis ist anscheinend auch so weit richtig, nur das A nun nicht in der Standardbasis ist, was ich nicht verstehe, denn irgendwie muss man man nun A noch in die Standardbasis bringen. Meine Frage lautet also wieso und wie? Dann wollt ich noch wissen, was eine Elementarmatrix ist (möglichst einfache Definition (verständliche)). Danke Magician.
|
|
| |
|
Zumindest zum Thema Elementarmatrix kann ich dir schonmal helfen:
Du kennst sicher bereits Einheitsmatritzen und auch das Verfahren der elementaren Zeilenumformungen (wenn nicht bitte rückfragen!).
Eine Elementarmatrix ist nun einfach eine Einheitsmatrix auf die exakt eine Zeilenoperation angewendet wurde.
Da sich jede Matrix mit Zeilenumforumungen zu Einheitsmatrix umformen läßt (wenn sie vollen Rang hat bzw. invertierbar ist), ist auch jede solche Matrix als Produkt von Elementarmatritzen darstellbar, wobei jede Matrix für eine Operation steht.
Den Rest erklärt lieber jemand, der mehr Ahnung hat, ich schreibe selber gerade erst an LA II 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Hallo, ich habe folgendes Problem bei einer Aufgabe: "Sei
> [mm]A:\IR^3 \to \IR^3[/mm] eine lineare Abbildung, so dass gilt
> [mm]A((1,2,3)) = (3,2,1) , A((1,1,1)) = (1,-1,1)[/mm] und[mm] A((1,-1,1)) = (0,0,1)[/mm].
> Bestimmen sie die Matrix von A in der Standardbasis. "
> So bei der Lösung dieses Problems hab ich mir gedacht:[mm]A* \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> Oder [mm]A*X=B[/mm] so ist[mm] A=B*X^-1[/mm] Dieses Ergebnis ist anscheinend
> auch so weit richtig, nur das A nun nicht in der
> Standardbasis ist, was ich nicht verstehe, denn irgendwie
> muss man man nun A noch in die Standardbasis bringen.
Wie kommst du darauf, dass dein Ergebnis falsch ist? Meiner Ansicht nach ist es richtig. Wenn [mm]{\cal E}_3[/mm] die Standardbasis des [mm]\IR^3[/mm] ist, dann ist [mm]A_{{\cal E}_3}^{{\cal E}_3}[/mm] gesucht und man hat
(mit [mm]{\cal B}=\left\{ \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}[/mm]):
[mm]A_{{\cal E}_3}^{{\cal E}_3} = A_{{\cal E}_3}^{{\cal B}} \cdot id_{{\cal B}}^{{\cal E}_3}[/mm],
[mm] = \begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}[/mm],
und genau das hast du gemacht! (Allerdings hast du dich zweimal verschrieben!).
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:13 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo Stefan, ich komme darauf, weil es in der Musterlösung heisst, dass die entstandene Matrix A nicht in der Standardbasis ist und erst dorthin transformiert werden muss. Ich habe auch eine 2. Musterlösung unabhängig von der ersten, in der steht das selbe, nur in keiner von beiden steht wieso weshalb und wie. Es steht lediglich dass Ergebnis da. die Matrix A sei [mm]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \frac{-5}{3} & \frac{-5}{3} & \frac{7}{3} \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm] und in der Standardbasis sei A dann[mm] \begin{pmatrix} \frac{-2}{3} & \frac{-2}{3} & \frac{5}{3} \\ -1 & -1 & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{-2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
also wenn meine Antwort falsch ist, dann lasse ich es besser, denn von meinem Lösungsansatz war ich hundertprozentig überzeugt. Vielleicht ist das dann doch zu lange her... :-( Aber kannst du bitte mal schauen, was bei deiner ersten Frage falsch ist? Also, entweder bei der Basis oder bei den Matrizen hast du Fehler gemacht. Überprüfe die Aufgabenstellung bitte noch einmal ganz genau und teile uns die korrekten Einträge bitte mit.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
ist die Aufgabe vielleicht eine Teil einer Aufgabe?
Vielleicht sind ja die gegebenen Vektoren nicht bzgl. der Standardbasis gegeben, sondern bzgl. einer anderen Basis...
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, die richtigen Matrizen müssen heissen: 3,2,1 / 1,-1,1 / 0,0,1 und 1,2,3 / 1,1,1 / 1,-1,0. Dies ist die vollständige Aufgabe, aber es könnte ja auch sein, dass die Musterlösung falsch ist, weil jeden den ich bisher mit dieser Frage "belästigt" habe, meint dies ist dann schon A in der Standardbasis. Obwohl unser Tutor die gleiche Ansicht hat, wie die Musterlösung, nur den sehe ich nie wieder und heute hatten wir Übungsstunde bei einem anderen Tutor, da hat der Tutor gemeint dies sei nach seiner Meinung nach schon A in der Standardbasis. Naja zerbrecht euch mal nicht allzu sehr den Kopf, denn vielleicht haben wir ja recht. Danke für eure Bemühungen so weit, Magician. Falls euch was dazu einfällt dann postet dies.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
okay, ich war mir vorher eigentlich schon hundertprozentig sicher, dass es richtig ist, aber das Wort "Musterlösung" hatte mich etwas zweifeln lassen. Wenn es aber nur irgendein Tutor gesagt hat, dann ist das nicht ernst zu nehmen. Also, es stimmt auf jeden Fall: Wir haben die Aufgabe richtig gelöst, ich bin mir extrem sicher!
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mi 24.03.2004 | | Autor: | kaky896 |
Jetzt möchte ich doch als Gast ein kleines Machtwort sprechen. Das ganze hier steht und fällt mit der Sache, wie man so eine Abbildungsmatrix aufbaut. Ich denke es reicht, wenn ich es für die erste Spalte wiederhole, der Rest sollte dann klar sein.
Das Bild des ersten Basisvektors hat irgendwas mit der ersten Spalte zu tun, das stimmt. Aber es steht _NICHT_ der Vektor selbst darin (was bei manchen 'Vektoren' wie Polynomen keinen Sinn macht!) , sondern es stehen darin die KOMPONENTEN des Vektors in der vorgebenen Basis. Es gilt wirklich
1. Bildvektor = (3,2,1) = -1 (1,2,3) +4 (1,1,1) + 0 (1,-1,1)
Also stehen in der Abbildungsmatrix bezüglich der vorgegebenen (nicht Standardbasis)-Vektoren untereinander die Zahlen -1, 4 und 0.
Analog gitl
2. Bildvektor = (1,-1,1)= 0 (1,2,3) +0 (1,1,1) + 1 (1,-1,1)
womit 0,0,1 in der zweiten Spalte steht. Für die dritte Spalte gilt
3.Bildvektor = (0,0,1) = 1/2 (1,2,3) -3/4 (1,1,1) + 1/4 (1,-1,1), womit sich die letzte Spalte zu 1/2, -3/4 und 1/4 ergibt. Und die Abbildungsmatrix - sagen wir Afalsch - bzgl. der 'krummen' Basis lautet:
[mm]
Afalsch = \begin{pmatrix} -1&0&0.5\\4&0&-0.75\\0&1&0.25\end{pmatrix}
[/mm]
Gerechnet werden mit dieser Matrix muss jetzt folgendermaßen. Zu einem vorgegebenen Vektor müssen zunächst seine KOMPONENTEN bezüglich dieser 'krummen' Basis berechnet werden. Zum Beispiel hat der Vektor (2,4,6) - der doppelte erste Basisvektor - die Komponenten (2,0,0). Dies kann jetzt an die Matrix ranmultipliziert werden und liefert als Ergebnis die KOMPONENTEN des Bildvektors. Das wäre also die Abbildungsmatrix in die man Komponenten der 'krummen' Basis hineinsteckt und Komponenten der 'krummen' Basis als Ergebnis erhält.
Die Standardbasis hat den unschlagbaren Vorteil, dass die Komponentenvektoren bezüglich der Standardbasis ganz genau so aussehen wir die Vektoren selbst. Deshalb rechnet man am liebsten mit Abbildungsmatrizen bzgl. der Standardbasis. Man kann den Vektor einfach ranmultiplizieren und erhält als Ergebnis gleich den Bildvektor, der ja wie sein Komponentenvektor aussieht.
Ich nehme an, dass ein Tiel dieses 'Umrechnen' bereits in die Matrix eingerechnet wurde, damit man die Vektoren direkt an die Matrix ranmultiplizieren kann. Aber sauber ist das nicht, und die Matrix ist dann eine Abbildungsmatrix an die man rechts Vektoren direkt (d.h. das sind automatisch die Komponenten in der Standardbasis) ranmultipliziert, aber man erhält nach wie vor als Ergebnis KOMPONENTEN IN DER KRUMMEN BASIS ! Das Ergebnis schein mir auch falsch zu sein.
Wie dem auch sei. Aus Afalsch bekommen wir die richtige Matrix A (bzgl. der Standarbasis) durch eine Basistransformation. Diese drückt sich durch Matrizenmultiplikation folgendermaßen aus:
[mm] A = X^{-1} Afalsch X[/mm]
Durch X bzw. die inverse Matrix wird das hin- und herrechnen der Komponenten zwischen den beiden verschieden Basen erledigt. Wenn man dies mit den vorgegebenen Matrizen tut erhält man
[mm] A = X^{-1} Afalsch X
=
\begin{pmatrix} 1&1&1\\2&1&-1\\3&1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -1&0&0.5\\4&0&-0.75\\0&1&0.25\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -0.5&0&0.5\\1.25&0.5&-0.75\\0.25&-0.5&0.25\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -0.25&0.5&0.75\\-2.25&-0.5&1.75\\1&0&0\end{pmatrix}
[/mm]
Diese Matrix sollte modulo Schreibfehler auch die geforderte Eigenschaft haben, dass man die drei vorgegebenen 'krummen' Basisvektoren dranmultiplizieren kann und dann die geforderten Bildvektoren erhält. Diese wichtige Eigenschaft vermisse ich bei dem Ergebnis der Musterlösung.
Ciao und ich hoffe es hilft
Klaus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
Danke für deine Erläuterungen, aber du machst nichts anderes als das, was ich gemacht habe. Du rechnest so:
[mm]A_{{\cal E}_3}^{{\cal
E}_3} = id_{{\cal E}^3}^{{\cal B}} \cdot A_{{\cal B}}^{{\cal B}} \cdot id_{{\cal B}}^{{\cal E}_3}[/mm],
was aber wegen
[mm]id_{{\cal E}_3}^{{\cal B}} \cdot A_{{\cal B}}^{\cal B}} = A_{{\cal E}_3}^{{\cal B}}[/mm]
völlig äquivalent zu meiner Lösung ist.
In diesem Sinne war meine Lösung auch nicht unsauber.
Dennoch Danke, dass du dich an der Diskussion beteiligst. 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Do 25.03.2004 | | Autor: | kaky896 |
Ja, Stefan, du hast recht. Ich habe wohl zu viel in die Aufgabe reininterpretiert und mit Gewalt die Abbildungsmatrix bzgl der gegeben Basis ausrechnen wollen - was wohl auch in der 'Musterlösung' angegeben war.
Ciao Klaus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Do 25.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kaky896,
willkommen zunächst auch von mir im MatheRaum !
> Ja, Stefan, du hast recht. Ich habe wohl zu viel in die
> Aufgabe reininterpretiert und mit Gewalt die
> Abbildungsmatrix bzgl der gegeben Basis ausrechnen wollen -
> was wohl auch in der 'Musterlösung' angegeben war.
Was ich bei deinem vorherigen Posting schon fragen wollte: Welche gegebene Basis denn?
Du schreibst in deinem ersten Posting (ich weiß jetzt nicht, ob das bei dir noch gilt, aber du schreibst oben ja wieder "gegebene Basis"):
> 1. Bildvektor = (3,2,1) = -1 (1,2,3) +4 (1,1,1) + 0 (1,-1,1)
Ich sehe zwar ein, dass die drei Vektoren (1,2,3), (1,1,1), (1,-1,1) eine Basis bilden, aber warum sollte man $A$ (bzw. [mm] $A_{\mbox{falsch}}$) [/mm] zunächst bzgl. dieser Basis schreiben? Was zeichnet diese Basis aus? Warum kann man da nicht gleich die Standardbasis nehmen?
Habe ich da was falsch verstanden?
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Do 25.03.2004 | | Autor: | kaky896 |
> Hallo kaky896,
>
> willkommen zunächst auch von mir im MatheRaum !
>
> > Ja, Stefan, du hast recht. Ich habe wohl zu viel in die
>
> > Aufgabe reininterpretiert und mit Gewalt die
> > Abbildungsmatrix bzgl der gegeben Basis ausrechnen wollen
> -
> > was wohl auch in der 'Musterlösung' angegeben war.
>
> Was ich bei deinem vorherigen Posting schon fragen wollte:
> Welche gegebene Basis denn?
>
> Du schreibst in deinem ersten Posting (ich weiß jetzt
> nicht, ob das bei dir noch gilt, aber du schreibst oben ja
> wieder "gegebene Basis"):
> > 1. Bildvektor = (3,2,1) = -1 (1,2,3) +4 (1,1,1) + 0
> (1,-1,1)
>
> Ich sehe zwar ein, dass die drei Vektoren (1,2,3), (1,1,1),
> (1,-1,1) eine Basis bilden, aber warum sollte man $A$ (bzw.
> [mm] $A_{\mbox{falsch}}$) [/mm] zunächst bzgl. dieser Basis schreiben?
> Was zeichnet diese Basis aus?
Nach Aufgabenstellung kennt man von dieser Basis die Bilder.Jetzt hat man die Möglichkeit, damit die Bilder der Standardbasis auszurechnen. Das ist der von dir gegangene Weg und der ist natürlich auch richtig. Mein Weg ist der allgemeinere. Man kann eine Abbildungsmatrix für JEDE Basis aufstellen. Das habe ich für die drei obigen Vektoren gemacht, und dann auf die Standardbasis umgerechnet. Wahrscheinlich ein bißchen mit Kanonen auf Spatzen geschossen...
> Warum kann man da nicht
> gleich die Standardbasis nehmen?
>
> Habe ich da was falsch verstanden?
Nein, du hast schon recht. In diesem Fall kannst du gleich die Standardbasis nehmen. Es gibt aber allgemein Vektorräume, bei denen man nicht von einer Standardbasis reden kann und dann braucht man das allgemeiner.
Ansonsten macht es auch im [mm]\IR ^3[/mm] manchmal Sinn, andere Basen zu betrachten. Wenn du zum Beispiel eine Abbildung hast, die den Vektor (1,2,3) um den Faktor 2 streckt, den Vektor (1,-1,1) um den Faktor 1/2 verkürzt und den Vektor (1,1,1) spiegelt (auf -(1,1,1) abbildet, dann hast du eine geometrische Vorstellung davon, was bei der Abbildung passiert. Der Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis siehst du das nicht an, wohl aber der bzgl. der drei oben genannten Vektoren.
Ciao
Klaus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Do 25.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kaky896,
alles klar, danke für die Klärung!
Bis bald mal wieder (hoffentlich),
Marc
|
|
|
|
