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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 So 12.12.2004 | | Autor: | Michel |
Hallo zusammen,
ich habe die Matrix A = [mm] \pmat{-13&7&-16\\-28&15&-35\\0&0&-2} [/mm] der linearen Abbildung [mm] \alpha [/mm] bezüglich der Standartbasis S = {s1, s2, s3}.
Zeigen sollte ich nun, dass T = {t1, t2, t3} mit t1 = s1+2s2, t2 = 2s1+5s2, t3 = 3s1+7s2+s3 eine weitere Basis ist. Dies habe ich auch soweit geschafft. Nun soll ich aber noch die Basiswechselmatrix von S zur Basis T angeben und dann die Darstellungsmatrix der Abbildung bezüglich der Basis T angeben.
Hoffe es kann mir jemand helfen, da ich in allen Büchern unterschiedliche Erklärungen finde und mich das deshalb total verwirrt hat !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Zuerst möchte ich mich für die lange Wartezeit entschuldigen.
Ich hab mir folgendes ausgedacht:
Deine Basis T sieht ja so aus:
[mm] T=\{\vektor{1 \\ 2 \\ 0} \vektor{2 \\ 5 \\ 0} \vektor{3 \\ 7 \\ 1}\}
[/mm]
Also t1 ist zum Beispiel s1+ 2*s2= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+2*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] t2=...
Diese Vektoren sind bzgl. der Standartbasis koordinatisiert;
ich schreibe dafür (S*,T) wobei dies die Matrix deiner "T- Vektoren"
bzgl. der kanonischen Koordinatisierung
(Koordinatisierung bzgl. der Standartbasis) darstellt.
[mm] (S*,T)^{-1} [/mm] (die Inverse)= (T*, S), also die "S- Vektoren"
bzgl. der Koordinatisierung von T.
Das ist deine Umrechnungsmatrix,
denn damit kannst du Vektoren, welche unter S dargestellt sind, auf T umrechnen
(wie erklär ich gleich).
Insbesondere kannst du dein f- Bild welches ja unter S dargestellt ist auf T umrechnen,
und dazu bildest du einfach das Matrizenprodukt:
(T*,S)(S*,f(B))= (T*,f(B)) die gesuchte Matrix
(B bezeichnet die Vektoren deiner Urbilder)
Und jetzt zur Rechnung:
[mm] (S*,T)=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] (T*,S)=\pmat{ 5 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] (einfach die Inverse der obigen Matrix)
[mm] (T*,f(B))=\pmat{ 5 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1}*\pmat{ -13 & 7 & -16 \\ -28 & 15 & -35 \\ 0 & 0 & -2}= [/mm]
das kannst du selbst 
Liebe Grüße,
Nilez
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Michel |
Hallo Nilez,
zunächst einmal vielen Dank für Deine Antwort. Bin mittlerweile auch auf Deine Ergebnisse (durch intensive Buchlektüre) gekommen. Allerdings bin ich mir noch immer nicht ganz sicher, ob:
1) Matrix T ist Basiswechselmatrix von S (Standartbasis) zur Basis T
oder
2) Matrix [mm] T^{-1} [/mm] ist Basiswechselmatrix von S zur Basis T
Kannst Du mir das noch erklären ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hi,
> Allerdings bin ich mir noch immer
> nicht ganz sicher, ob:
> 1) Matrix T ist Basiswechselmatrix von S (Standartbasis)
> zur Basis T
>
> oder
>
> 2) Matrix [mm]T^{-1}[/mm] ist Basiswechselmatrix von S zur Basis T
>
Meine Notation war so:
(S*,T)... Basiswechsel von T zur Basis S;
sind die T- Vektoren in deiner Angabe; die sind ja "kanonisch koordinatisiert"
.
(T*,S)... Basiswechsel von S zur Basis T (ist die Inverse von (S*,T))
Liebe Grüße,
Nilez
P.S: Ist anfangs etwas verwirrend; Abhilfe: Notation
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Michel |
Hallo Nilez,
tut mir wirklich furchtbar leid, aber hier nochmals eine Verständnisfrage (Rechnungen sind ja nicht das Problem) :
Müsste ich nicht für meine Darstellungsmatrix von [mm] \alpha [/mm] bezüglich der Basis T rechenen: [mm] T^{-1} [/mm] * A * T ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hi,
> Hallo Nilez,
>
> tut mir wirklich furchtbar leid, aber hier nochmals eine
> Verständnisfrage (Rechnungen sind ja nicht das Problem) :
>
> Müsste ich nicht für meine Darstellungsmatrix von [mm]\alpha[/mm]
> bezüglich der Basis T rechenen: [mm]T^{-1}[/mm] * A * T ?
>
>
>
Soweit ich deine Angabe richtig verstanden habe, ist [mm] \alpha [/mm] bereits unter der Standartbasis.
Insofern ergebe [mm] T^{-1}*A*T [/mm] keine Sinn, das würde ja bedeuten:
(T*,S)(S*, [mm] \alpha(B))(S*,T) [/mm] ?
( Das ergebe für B gleich S (T*, [mm] \alpha(T)) [/mm] )
Woher nimmst du die Vermutung, wenn ich fragen darf?
Liebe Grüße,
Nilez
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hi,
> Hallo Nilez,
>
> tut mir wirklich furchtbar leid, aber hier nochmals eine
> Verständnisfrage (Rechnungen sind ja nicht das Problem) :
>
> Müsste ich nicht für meine Darstellungsmatrix von [mm]\alpha[/mm]
> bezüglich der Basis T rechenen: [mm]T^{-1}[/mm] * A * T ?
>
>
>
Soweit ich deine Angabe richtig verstanden habe, ist [mm] \alpha [/mm] bereits unter der Standartbasis.
Insofern ergebe [mm] T^{-1}*A*T [/mm] keinen Sinn, das würde ja bedeuten:
(T*,S)(S*, [mm] \alpha(B))(S*,T) [/mm] ?
( Das ergebe für B gleich S (T*, [mm] \alpha(T)) [/mm] )
Woher nimmst du die Vermutung, wenn ich fragen darf?
Liebe Grüße,
Nilez
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Michel |
Hallo Nilez,
die Vermutung kommt von Komilitonen von mir, die Ihre Berechnungen alle für Richtig halten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo nochmal!
Ich muss zugeben, dass ich aus deiner Angabe die Antwort auf deine letzte Frage nicht finden kann.
Hast du vielleicht noch mehr Info für mich.
Der Unterschied zwischen den beiden Lösungswegen besteht darin:
[mm] T^{-1}*A [/mm] würde das Bild der Vektoren aus dem ursprünglichen Urbild (ich vermute das sind die kanonischen Basisvektoren) unter der Koordinatisierung T darstellen.
[mm] T^{-1}*A*T [/mm] würde das Bild der T- Vektoren unter der Koordinatisierung T darstellen, kann durchaus so gemeint sein,
man hätte also dann:
(T*,S)(S*, [mm] \alpha(S)) [/mm] (S*,T) = (T*, [mm] \alpha(T))
[/mm]
Liebe Grüße,
Nilez
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