Basiswechsel-Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Do 21.06.2007 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | b1=(1,0,2) , b2= (0, 1, -1), b3=(2, 0, 0), v1=(1, 0, 1) v2= (1, 1, 1), v3=(-1, -2, -3)
Bilden sie A(f, b1, b2, b3 => v1, v2, v3) |
die Lösung soll (1/2 1 -5/2)
(0 1 -2 )
(1/4 0 3/4)
sein. Wie berechne ich so eine Matrix. Kann mir das jemand genau erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Do 21.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du hast
[mm] b_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 2}, b_2=\vektor{0 \\ 1 \\ -1}, b_3=\vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm]
und
[mm] v_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, v_2=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, v_3=\vektor{-1 \\ -2 \\ -3}
[/mm]
> Bilden sie A(f, b1, b2, b3 => v1, v2, v3)
Berechne:
[mm] r*\vektor{1 \\ 0 \\ 2}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=v_1 \gdw r=\bruch{1}{2},s=0,t=\bruch{1}{4} [/mm] das ist in Vektorschreibweise: [mm] (\bruch{1}{2}, [/mm] 0, [mm] \bruch{1}{4})^{T}=\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{1}{4}}
[/mm]
Das machst du mit den folgenden ebenso:
[mm] r*\vektor{1 \\ 0 \\ 2}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=v_2
[/mm]
und
[mm] r*\vektor{1 \\ 0 \\ 2}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 0}=\vektor{-1 \\ -2 \\ -3}=v_3
[/mm]
Und erhälst:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & 1 & -\bruch{5}{2} \\ 0 & 1 & -2 \\ \bruch{1}{4} & 0 & \bruch{3}{4} }
[/mm]
MfG
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 21.06.2007 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | | Wenn ich b1, b2, b3, auf die Standardbasen e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) wurde mir gesagt muss wieder b rauskommen. |
Meine Frage ist, wenn ich v1 duch b1 bis b3 darstelle komm ich mit gauss auf das richtige Ergebnis.
wenn ich aber e1 durch b1 bis b3 darstelle ist es nicht b.
ich muss dazu b1 durch e1 bis e3 darstellen.
woran liegt das, das muss doch auch genau so gehen?
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> Wenn ich b1, b2, b3, auf die Standardbasen e1=(1, 0, 0),
> e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) wurde mir gesagt muss wieder b
> rauskommen.
Hallo,
den Satz oben kann ich leider nicht verstehen.
Ich weiß auch nicht, was Du mit b meinst.
Ein weiteres Problem für mich ist, daß Du Deine Aufgabe im ersten Post sehr undeutlich präsentierst. Du verrätst z.B. überhaupt nicht, was Du über die zur Debatte stehende Funktion f weißt, die da an einer Stelle mit einem Buchstaben erwähnt ist. Ich könnte mir vorstellen, daß es da noch Angaben gab...
Denn gesucht zu sein scheint im Endergebnis ja nicht die Transformationsmatrix, sondern die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl. der vorgegebenen Basen. Für diese allerdings kannst Du die Transformationsmatrizen gut gebrauchen.
> Meine Frage ist, wenn ich v1 duch b1 bis b3 darstelle komm
> ich mit gauss auf das richtige Ergebnis.
Ja. Genau das hat Dir barsch ja vorgerechnet.
Er hat Dir gesagt, wir Du die Matrix findest, die Dir Vektoren, welche in Koordinaten bzgl. [mm] V=(v_1,v_2,v_3) [/mm] gegeben sind, in solche bzgl. [mm] B=(b_1,b_2,b_3) [/mm] umrechnen kannst.
Genau darum geht es. Man will eine Transformationsmatrix [mm] T_V_B, [/mm] in welche man Vektoren [mm] \vektor{x \\ y\\z}_V(=x_v_1+yv_2+zv_3) [/mm] hineinsteckt, und denselben Vektor in der Darstellung bzgl. B herausbekommt, also [mm] \vektor{r \\ s\\t}_B(=rb_1+sb_2+t_b_3.)
[/mm]
Da man es hier mit linearen Abbildungen zu tun hat, bei denen man weiß: "Bilder der Basis in die Spalten stecken",
hat barsch die Koeffizienten [mm] r_i, s_i, t_i [/mm] mit [mm] v_i=r_ib_1+ s_ib_2+t_i b_3 [/mm] bestimmt, welche dann jeweils die Spalten der Transformationsmatrix bilden.
Suchst Du stattdessen die Matrix, die Dir Vektoren, die in Darstellung bzgl. B gegeben sind, in Darstellung bzgl. V, so hast Du zwei Möglichkeiten, welche sich allerdings nur auf den ersten Blick unterscheiden:
1. Du berechnest das Inverse von [mm] T_V_B [/mm] und erhältst [mm] T_B_V.
[/mm]
(Etwas Vorsicht mit den Bezeichnungen. Diese sind mitunter von Vorlesung zu Vorlesung sehr unterschiedlich.)
2. Du führst dasselbe Procedere wie oben durch.
Überlegst Dir, was Du zu tun hast, wenn Du die Basisvektoren von B bzgl. V ausdrücken willst, und stesllst nach vollendeter rechnung die Matrix auf.
Um dann schließlich die Darstellende Matrix von f zu bekommen, muß man diese Tansformationsmatrizen auf der richtigen Seite der vorgegebenen oder aufzustellenden darstellenden Matrix heranmultiplizieren.
Hierzu möchte ich aber nicht mehr sagen, weil mir die nötigen Informationen fehlen und ich nicht weiter ins Blaue reden möchte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Fr 22.06.2007 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | f war f: R³ => R³
b war die Matrix b1 bis b3
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ich möchte b1 b2 b3 auf e1=(1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1) abbilden
laut meinem prof. ist die abbildung einer basis auf die standardbasen e1 bis e3 wieder b1 bis b3.
ich bekomme aber (0, 0, 1/2) in der ersten spalte was meiner meinung nach richtig ist.
aber es ist nicht identisch mit b1. darum geht es mir.
ich möchte wissen woran das liegt?
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> f war f: R³ => R³
> b war die Matrix b1 bis b3
>
> ich möchte b1 b2 b3 auf e1=(1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e3 =
> (0, 0, 1) abbilden
"Ich möchte" - was meinst Du damit? Soll f das leisten?
Falls ja, ist die darstellende Matrix von f bzgl. der Basen [mm] B=(b_1,b_2,b_3) [/mm] und [mm] E=(e_1,e_2,e_3) [/mm] die Matrix.
[mm] M_B_E=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 1&0\\0&0&1 }.
[/mm]
> laut meinem prof. ist die abbildung einer basis auf die
> standardbasen e1 bis e3 wieder b1 bis b3.
Nicht die Abbildung einer Basis auf diese Vektoren!
Er redet von der Transformationsmatrix:
Wenn Du die Transformationsmatrix suchst, die Dir die Basisvektoren von B in Darstellung bzgl. E liefert,
suchst Du folgendes: [mm] b_i=r_ie_1+s_ie_2+t_ie_3=\vektor{r_i \\ s_i\\t_i}_E
[/mm]
In die Transformationsmatrix [mm] T_B_E [/mm] kommen also als Spalten die Koordinaten bzgl. E von [mm] b_1 [/mm] bis [mm] b_3.
[/mm]
[mm] T_B_Eb_1=T_B_E\vektor{1 \\ 0\\0}_B=\vektor{1 \\ 0\\2}_E
[/mm]
Das entspricht dem, was Dein Prof. sagt.
> abbildung einer basis auf die
> standardbasen e1 bis e3
Das ist völlig kraus formuliert übrigens. Die [mm] e_i [/mm] sind doch keine Basen! Sie sind die Vektoren der Basis [mm] E=(e-1,e_2,e_3), [/mm] also Basisvektoren.
Ich empfehle Dir Genauigkeit in der Sprache. Die Sache mit den Trabsformationen ist verwirrend, das gebe ich zu. Man muß die Wirrnis aber nicht noch künstlich steigern, indem man sich selbst Fallstricke spannt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 22.06.2007 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | | also es gabe eine aufgabe A(f, b1, b2, b3 => e1, e2, e3) |
wenn ich die Berechnung dafür genau so durch führe wie für A(f, b1, b2, b3 => v1, v2, v3).
bekomme ich in der ersten spalte (0, 0, 1/2).
laut musterlösung soll aber in der ersten spalte folgendes stehen (1, 0, 2).
das kann meiner Meinung nicht sein.
Die begründung ist in der Musterlösung: e1 bis e3 die Einheitsvektoren sind und somit in den Spalten der Matrix wieder b1 bis b3 steht.
Ich habe mit Gauss Algo. gerechnet, und wenn ich meine Lösung mit b1 bis b3
multiplizier komme ich auf e1 bis e3. (Was ja richtig wäre)
Mach ich etwas falsch oder...?
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> also es gabe eine aufgabe A(f, b1, b2, b3 => e1, e2, e3)
???
> wenn ich die Berechnung dafür genau so durch führe wie für
> A(f, b1, b2, b3 => v1, v2, v3).
> bekomme ich in der ersten spalte (0, 0, 1/2).
> laut musterlösung soll aber in der ersten spalte
> folgendes stehen (1, 0, 2).
> das kann meiner Meinung nicht sein.
> Die begründung ist in der Musterlösung: e1 bis e3 die
> Einheitsvektoren sind und somit in den Spalten der Matrix
> wieder b1 bis b3 steht.
Ich frage mich wirklich, ob Du mein vorhergehendes Post gelesen hast...
Also nicht nur die Buchstaben angeschaut, sondern mitgedacht.
Ich habe doch dort genau erklärt, wie man diese Basistransformation vollzieht, wieso die Koordinaten bzgl. der Einheitsvektoren in die Spalten kommen. Ich würde das ungern ein zweites Mal exakt so aufschreiben...
Hast Du das meine Anleitung mal mit Deinen konkreten Zahlen nachvollzogen?
> Ich habe mit Gauss Algo. gerechnet, und wenn ich meine
> Lösung mit b1 bis b3
> multiplizier komme ich auf e1 bis e3. (Was ja richtig
> wäre)
Nein. Wenn Du eine Basistransformation T vorzunehmen wünscht, wäre es absolut verheerend, wenn [mm] Tb_1=e_1 [/mm] wäre.
Denn eine Basistransformation beschreibt die identische Abbildung, nur eben bzgl. verschiedener Basen.
> Mach ich etwas falsch oder...?
Ich glaube, daß Du das Wesen der Basistransformation nicht verstanden hast.
Wie gesagt: eine Basistransformation beschreibt die identische Abbildung, nur eben bzgl. verschiedener Basen.
Der Vektor, den Du hineinsteckst, ist derselbe, wie der, der herauskommt, nur bzgl einer anderen Basis.
> Ich habe mit Gauss Algo. gerechnet, und wenn ich meine
> Lösung mit b1 bis b3
> multiplizier komme ich auf e1 bis e3. (Was ja richtig
> wäre)
Hieraus schließe ich, daß Du die darstellende Matrix der lin. Abb. [mm] g:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] bestimmen möchtest mit [mm] g(b_1)=e_i.
[/mm]
Bzgl. der Basen B->E wäre dies die Einheitsmatrix, also [mm] M_B_E(G)=E_3.
[/mm]
Möchtest Du diese Abbildung bzgl. anderer Basen aufstellen, mußt Du die passenden Transformationsmatrizen auf der passenden Seite heranmultiplizieren. Wie ich bereits irgendwo schrieb.
Ich glaube übrigens nach wie vor, daß die genaue Mitteilung der Aufgabenstellung für alle Beteiligten hilfreich wäre.
Gruß v. Angela
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