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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 So 08.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Sei $ [mm] \vec{e_1} [/mm] $, $ [mm] \vec{e_2} [/mm] $ eine Orthonormalbasis in einem zweidimensionalen Euklidischen Vektorraum und $ [mm] \vec{x} [/mm] $ ein beliebiger Vektor.
Gemäß [mm] \vec{v_1} := \vec{e_1} - \vec{e_2} , \vec{v_2} := \vec{e_1} + 2 \vec{e_2} [/mm] werde eine neue Basis eingeführt. Wie transformieren sich die Komponenten des Vektors [mm] \vec{x} [/mm] bei diesem Basiswechsel? |
Hallo,
[mm] x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} = y_1( \vec{e_1} - \vec{e_2}) + y_2(\vec{e_1} + 2 \vec{e_2}) [/mm]
Wie berechne ich jetzt $ [mm] y_1 [/mm] $ und $ [mm] y_2 [/mm] $ ?
Ich habe $ [mm] \vec{y} [/mm] = A [mm] \vec{x} [/mm] $ und ich muss $ A $ errechnen damit ich die Transformation machen kann, richtig?
Im Internet habe ich gelesen, dass man T zu x = Ty erhält, wenn man die Spaltenvektoren v1 und v2 zu T zusammenfasst.
Dann muss man $ [mm] T^{-1} [/mm] $ bilden und bekommt so A heraus?
Also bekomme ich: [mm] T = \begin{pmatrix}
e_{11}-e_{21} & e_{11}+2e_{21} \\
e_{12}-e_{22} & e_{12}+2e_{22}
\end{pmatrix} [/mm]
Wie bilde ich jetzt die inverse Matrix zu T?
Gibt es noch einen anderen Weg die Aufgabe zu lösen? Diese Verfahren haben wir in der Vorlesung noch nicht gemacht.
Dank für Hilfe :)
Gruß
--------------------
EDIT:
Mir ist gerade aufgefallen, dass
[mm] x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} = y_1( \vec{e_1} - \vec{e_2}) + y_2(\vec{e_1} + 2 \vec{e_2}) [/mm]
ja ein GLS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten ist und ich das ja einfach nach y1 und y2 auflösen kann^^
Müsste doch gehen, oder?
-------------------------------
EDIT2:
Hmm, das wird ja sehr kompliziert so... kann nicht der richtige Weg sein.
Ich steh auf dem Schlauch^^
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Hallo BarneyS,
> Sei [mm]\vec{e_1} [/mm], [mm]\vec{e_2}[/mm] eine Orthonormalbasis in einem
> zweidimensionalen Euklidischen Vektorraum und [mm]\vec{x}[/mm] ein
> beliebiger Vektor.
>
> Gemäß [mm]\vec{v_1} := \vec{e_1} - \vec{e_2} , \vec{v_2} := \vec{e_1} + 2 \vec{e_2}[/mm]
> werde eine neue Basis eingeführt. Wie transformieren sich
> die Komponenten des Vektors [mm]\vec{x}[/mm] bei diesem
> Basiswechsel?
>
>
>
>
> Hallo,
>
> [mm]x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} = y_1( \vec{e_1} - \vec{e_2}) + y_2(\vec{e_1} + 2 \vec{e_2})[/mm]
>
> Wie berechne ich jetzt [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] ?
>
> Ich habe [mm]\vec{y} = A \vec{x}[/mm] und ich muss [mm]A[/mm] errechnen damit
> ich die Transformation machen kann, richtig?
>
> Im Internet habe ich gelesen, dass man T zu x = Ty erhält,
> wenn man die Spaltenvektoren v1 und v2 zu T zusammenfasst.
>
> Dann muss man [mm]T^{-1}[/mm] bilden und bekommt so A heraus?
>
> Also bekomme ich: [mm]T = \begin{pmatrix}
e_{11}-e_{21} & e_{11}+2e_{21} \\
e_{12}-e_{22} & e_{12}+2e_{22}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie bilde ich jetzt die inverse Matrix zu T?
>
> Gibt es noch einen anderen Weg die Aufgabe zu lösen? Diese
> Verfahren haben wir in der Vorlesung noch nicht gemacht.
>
> Dank für Hilfe :)
>
> Gruß
> --------------------
> EDIT:
>
> Mir ist gerade aufgefallen, dass
>
> [mm]x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} = y_1( \vec{e_1} - \vec{e_2}) + y_2(\vec{e_1} + 2 \vec{e_2})[/mm]
>
> ja ein GLS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten ist und ich
> das ja einfach nach y1 und y2 auflösen kann^^
>
> Müsste doch gehen, oder?
Das geht auch.
> -------------------------------
> EDIT2:
>
> Hmm, das wird ja sehr kompliziert so... kann nicht der
> richtige Weg sein.
Führe die Gleichung
[mm]x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} = y_1( \vec{e_1} - \vec{e_2}) + y_2(\vec{e_1} + 2 \vec{e_2})[/mm]
auf die lineare Unabhängigkeit von [mm]\vec{e_{1}}, \ \vec{e_{2}}[/mm] zurück.
Dann ergeben sich 2 Gleichungen in 2 Unbekannten.
>
> Ich steh auf dem Schlauch^^
>
Gruss
MathePower
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