Basislösungen, DGL-System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | | Man löse das DGL- System [mm] \vec{y}^{,}=\pmat{ -3 & 1 \\ -4 & 1 }\vec{y} [/mm] |
Hallo lieber Matheraum,
ich habe eine Frage zu einer Musterlösung in meinem Buch. Es geht um die Berechnung von Basislösungen bei doppelten Eigenwerten. Ich gehe zunächste wie folgt vor
(1) Die Charakteristische Gleichung lautet [mm] \lambda^{2}+2\lambda+1=0\Rightarrow \lambda_{1}=-1 [/mm] ist zweifacher Eigenwert.
(2) Der Eigenraum zu [mm] \lambda_{1}=-1, [/mm] d.h. die Lösung des LGS [mm] (A+E)\vec{c}=\pmat{ -2 & 1 \\ -4 & 2 }\vec{c}=\vec{0} [/mm] ist eindimensional.
(3) Ein Basisvektor ist [mm] \vec{c_{1}}=\vektor{1 \\ 2}.
[/mm]
(4) Die zu [mm] \vec{c_{1}} [/mm] gehörige Basislösung der DGL ist [mm] \vec{y_{1}}=\vektor{1 \\ 2}e^{-x}.
[/mm]
(5) Eine weitere Basislösung ergibt der Ansatz [mm] \vec{y}=(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}
[/mm]
(6) Einsetzen in die DGL [mm] \vec{y}^{,}=A\vec{y} [/mm] liefert [mm] (\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})e^{-x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}
[/mm]
(7) Ein Koeffizientenvergleich ergibt [mm] -\vec{a}=A\vec{a}, [/mm] d.h. [mm] (A+E)\vec{a}=\vec{0} [/mm] und [mm] (A+E)\vec{b}=\vec{a}.
[/mm]
(8) Nach der ersten Gleichung ist [mm] \vec{a} [/mm] ein Eigenvektor von A zum Eigenwert -1.
(9) Man kann [mm] \vec{a}= \vec{c_{1}}=\vektor{1 \\ 2} [/mm] nehmen.
Meine Fragen zu den bisherigen Berechnungen:
1.) Wie genau ermittle ich den Grad des Polynoms aus (5)?
2.) Was geschieht genau zwischen (6) und (7). bzw. wie wende ich den Koeffizientenvergleich an?
Über eine baldige Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Man löse das DGL- System [mm]\vec{y}^{,}=\pmat{ -3 & 1 \\ -4 & 1 }\vec{y}[/mm]
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> Hallo lieber Matheraum,
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> ich habe eine Frage zu einer Musterlösung in meinem Buch.
> Es geht um die Berechnung von Basislösungen bei doppelten
> Eigenwerten. Ich gehe zunächste wie folgt vor
>
>
>
> (1) Die Charakteristische Gleichung lautet
> [mm]\lambda^{2}+2\lambda+1=0\Rightarrow \lambda_{1}=-1[/mm] ist
> zweifacher Eigenwert.
>
>
> (2) Der Eigenraum zu [mm]\lambda_{1}=-1,[/mm] d.h. die Lösung des
> LGS [mm](A+E)\vec{c}=\pmat{ -2 & 1 \\ -4 & 2 }\vec{c}=\vec{0}[/mm]
> ist eindimensional.
>
>
> (3) Ein Basisvektor ist [mm]\vec{c_{1}}=\vektor{1 \\ 2}.[/mm]
>
>
> (4) Die zu [mm]\vec{c_{1}}[/mm] gehörige Basislösung der DGL ist
> [mm]\vec{y_{1}}=\vektor{1 \\ 2}e^{-x}.[/mm]
>
>
> (5) Eine weitere Basislösung ergibt der Ansatz
> [mm]\vec{y}=(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}[/mm]
>
>
>
> (6) Einsetzen in die DGL [mm]\vec{y}^{,}=A\vec{y}[/mm] liefert
> [mm](\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})e^{-x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}[/mm]
>
>
>
> (7) Ein Koeffizientenvergleich ergibt [mm]-\vec{a}=A\vec{a},[/mm]
> d.h. [mm](A+E)\vec{a}=\vec{0}[/mm] und [mm](A+E)\vec{b}=\vec{a}.[/mm]
>
>
>
> (8) Nach der ersten Gleichung ist [mm]\vec{a}[/mm] ein Eigenvektor
> von A zum Eigenwert -1.
>
>
> (9) Man kann [mm]\vec{a}= \vec{c_{1}}=\vektor{1 \\ 2}[/mm] nehmen.
>
>
>
>
>
> Meine Fragen zu den bisherigen Berechnungen:
>
>
>
> 1.) Wie genau ermittle ich den Grad des Polynoms aus (5)?
Es hat den Grad 1
>
> 2.) Was geschieht genau zwischen (6) und (7). bzw. wie
> wende ich den Koeffizientenvergleich an?
Aus $ [mm] (\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})e^{-x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x} [/mm] $
folgt
$ [mm] (\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})=A(\vec{a}x+\vec{b})$ [/mm] = [mm] A\vec{a}x+A\vec{b}, [/mm]
da dies für jedes x [mm] \in \IR [/mm] gilt folgt
$ [mm] -\vec{a}=A\vec{a} [/mm] $ und $ [mm] (A+E)\vec{b}=\vec{a}. [/mm] $
FRED
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> Über eine baldige Hilfe würde ich mich sehr freuen.
>
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> Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo fred97!
Tut mir leid, ich habe mich falsch ausgedrückt. Die Frage hatte einen allgemeinen Hintergrund und war jetzt nicht speziell auf diese Aufgabe gerichtet.
Ich würde gerne wissen, wie man allgemein den Grad des Polynoms ermittelt, so dass entsprechend korrekte Basislösungen berechnet werden können. Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Hallo fred97!
>
> Tut mir leid, ich habe mich falsch ausgedrückt. Die Frage
> hatte einen allgemeinen Hintergrund und war jetzt nicht
> speziell auf diese Aufgabe gerichtet.
>
> Ich würde gerne wissen, wie man allgemein den Grad des
> Polynoms ermittelt, so dass entsprechend korrekte
> Basislösungen berechnet werden können. Gruß,
Wenn die zu einem DGL-System gehörige Matrix A,
einen Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit n hat,
dann ist der gibt es n voneinander unabhängige Basislösungen.
Beispielsweise, wenn eine konstante Matrix A einen n-fachen Eigenwert
[mm]\lambda[/mm] hat, dann sieht das entsprechende Basissystem so aus:
[mm]e^{\lambda x}, \ x e^{\lambda x}, \ \dots \, \ , \ x^{n-1}e^{\lambda x}[/mm]
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>
> Marcel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
> > Man löse das DGL- System [mm]\vec{y}^{,}=\pmat{ -3 & 1 \\ -4 & 1 }\vec{y}[/mm]
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> > Hallo lieber Matheraum,
> >
> >
> > ich habe eine Frage zu einer Musterlösung in meinem Buch.
> > Es geht um die Berechnung von Basislösungen bei doppelten
> > Eigenwerten. Ich gehe zunächste wie folgt vor
> >
> >
> >
> > (1) Die Charakteristische Gleichung lautet
> > [mm]\lambda^{2}+2\lambda+1=0\Rightarrow \lambda_{1}=-1[/mm] ist
> > zweifacher Eigenwert.
> >
> >
> > (2) Der Eigenraum zu [mm]\lambda_{1}=-1,[/mm] d.h. die Lösung des
> > LGS [mm](A+E)\vec{c}=\pmat{ -2 & 1 \\ -4 & 2 }\vec{c}=\vec{0}[/mm]
> > ist eindimensional.
> >
> >
> > (3) Ein Basisvektor ist [mm]\vec{c_{1}}=\vektor{1 \\ 2}.[/mm]
> >
> >
> > (4) Die zu [mm]\vec{c_{1}}[/mm] gehörige Basislösung der DGL ist
> > [mm]\vec{y_{1}}=\vektor{1 \\ 2}e^{-x}.[/mm]
> >
> >
> > (5) Eine weitere Basislösung ergibt der Ansatz
> > [mm]\vec{y}=(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}[/mm]
> >
> >
> >
> > (6) Einsetzen in die DGL [mm]\vec{y}^{,}=A\vec{y}[/mm] liefert
> > [mm](\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})e^{-x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}[/mm]
> >
> >
> >
> > (7) Ein Koeffizientenvergleich ergibt [mm]-\vec{a}=A\vec{a},[/mm]
> > d.h. [mm](A+E)\vec{a}=\vec{0}[/mm] und [mm](A+E)\vec{b}=\vec{a}.[/mm]
> >
> >
> >
> > (8) Nach der ersten Gleichung ist [mm]\vec{a}[/mm] ein Eigenvektor
> > von A zum Eigenwert -1.
> >
> >
> > (9) Man kann [mm]\vec{a}= \vec{c_{1}}=\vektor{1 \\ 2}[/mm] nehmen.
> >
> >
> >
> >
> >
> > Meine Fragen zu den bisherigen Berechnungen:
> >
> >
> >
> > 1.) Wie genau ermittle ich den Grad des Polynoms aus (5)?
>
>
> Es hat den Grad 1
>
>
> >
> > 2.) Was geschieht genau zwischen (6) und (7). bzw. wie
> > wende ich den Koeffizientenvergleich an?
>
>
>
> Aus
> [mm](\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})e^{-x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}[/mm]
>
> folgt
>
> [mm](\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})=A(\vec{a}x+\vec{b})[/mm] =
> [mm]A\vec{a}x+A\vec{b},[/mm]
>
> da dies für jedes x [mm]\in \IR[/mm] gilt folgt
>
> [mm]-\vec{a}=A\vec{a}[/mm] und [mm](A+E)\vec{b}=\vec{a}.[/mm]
>
> Das verstehe ich leider immer noch nicht. Vielleicht könntest du es noch etwas ausführlicher erklären? Ich bedanke mich recht herzlich.
>
Mein Ansatz:
[mm] (\vec{a}-\vec{b}-\vec{a}x)=A(\vec{a}x+\vec{b})
[/mm]
[mm] \gdw (-1)(-\vec{a}+(\vec{a}x+\vec{b}))=A(\vec{a}x+\vec{b})
[/mm]
[mm] \gdw (-1)(-\vec{a})-(\vec{a}x+\vec{b})=A(\vec{a}x+\vec{b})
[/mm]
[mm] \gdw \vec{a}=A(\vec{a}x+\vec{b})+(\vec{a}x+\vec{b})
[/mm]
[mm] \gdw \vec{a}=(\vec{a}x+\vec{b})(A+1)
[/mm]
[mm] \gdw -\vec{a}=-(\vec{a}x+\vec{b})(A+1)
[/mm]
[mm] \gdw -\vec{a}=(-\vec{a}x-\vec{b})(A+1)
[/mm]
[mm] \gdw -\vec{a}=-\vec{a}xA-\vec{b}-\vec{a}x-A\vec{b}
[/mm]
Ist es überhaupt die richtige Herangehensweise?
> FRED
> >
> >
> >
> > Über eine baldige Hilfe würde ich mich sehr freuen.
> >
> >
> >
> >
> >
> > Gruß, Marcel
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Hallo Marcel08,
> > > Man löse das DGL- System [mm]\vec{y}^{,}=\pmat{ -3 & 1 \\ -4 & 1 }\vec{y}[/mm]
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> >
> > >
> > > Hallo lieber Matheraum,
> > >
> > >
> > > ich habe eine Frage zu einer Musterlösung in meinem Buch.
> > > Es geht um die Berechnung von Basislösungen bei doppelten
> > > Eigenwerten. Ich gehe zunächste wie folgt vor
> > >
> > >
> > >
> > > (1) Die Charakteristische Gleichung lautet
> > > [mm]\lambda^{2}+2\lambda+1=0\Rightarrow \lambda_{1}=-1[/mm] ist
> > > zweifacher Eigenwert.
> > >
> > >
> > > (2) Der Eigenraum zu [mm]\lambda_{1}=-1,[/mm] d.h. die Lösung des
> > > LGS [mm](A+E)\vec{c}=\pmat{ -2 & 1 \\ -4 & 2 }\vec{c}=\vec{0}[/mm]
> > > ist eindimensional.
> > >
> > >
> > > (3) Ein Basisvektor ist [mm]\vec{c_{1}}=\vektor{1 \\ 2}.[/mm]
> >
> >
> > >
> > > (4) Die zu [mm]\vec{c_{1}}[/mm] gehörige Basislösung der DGL ist
> > > [mm]\vec{y_{1}}=\vektor{1 \\ 2}e^{-x}.[/mm]
> > >
> > >
> > > (5) Eine weitere Basislösung ergibt der Ansatz
> > > [mm]\vec{y}=(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > (6) Einsetzen in die DGL [mm]\vec{y}^{,}=A\vec{y}[/mm] liefert
> > > [mm](\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})e^{-x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > (7) Ein Koeffizientenvergleich ergibt [mm]-\vec{a}=A\vec{a},[/mm]
> > > d.h. [mm](A+E)\vec{a}=\vec{0}[/mm] und [mm](A+E)\vec{b}=\vec{a}.[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > (8) Nach der ersten Gleichung ist [mm]\vec{a}[/mm] ein Eigenvektor
> > > von A zum Eigenwert -1.
> > >
> > >
> > > (9) Man kann [mm]\vec{a}= \vec{c_{1}}=\vektor{1 \\ 2}[/mm] nehmen.
> > >
> > >
> > >
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> > >
> > > Meine Fragen zu den bisherigen Berechnungen:
> > >
> > >
> > >
> > > 1.) Wie genau ermittle ich den Grad des Polynoms aus (5)?
> >
> >
> > Es hat den Grad 1
> >
> >
> > >
> > > 2.) Was geschieht genau zwischen (6) und (7). bzw. wie
> > > wende ich den Koeffizientenvergleich an?
> >
> >
> >
> > Aus
> > [mm](\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})e^{-x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{-x}[/mm]
> >
> > folgt
> >
> > [mm](\vec{a}-\vec{a}x-\vec{b})=A(\vec{a}x+\vec{b})[/mm] =
> > [mm]A\vec{a}x+A\vec{b},[/mm]
> >
> > da dies für jedes x [mm]\in \IR[/mm] gilt folgt
> >
> > [mm]-\vec{a}=A\vec{a}[/mm] und [mm](A+E)\vec{b}=\vec{a}.[/mm]
> >
> > Das verstehe ich leider immer noch nicht. Vielleicht
> könntest du es noch etwas ausführlicher erklären? Ich
> bedanke mich recht herzlich.
> >
>
>
> Mein Ansatz:
>
>
> [mm](\vec{a}-\vec{b}-\vec{a}x)=A(\vec{a}x+\vec{b})[/mm]
>
> [mm]\gdw (-1)(-\vec{a}+(\vec{a}x+\vec{b}))=A(\vec{a}x+\vec{b})[/mm]
>
> [mm]\gdw (-1)(-\vec{a})-(\vec{a}x+\vec{b})=A(\vec{a}x+\vec{b})[/mm]
>
> [mm]\gdw \vec{a}=A(\vec{a}x+\vec{b})+(\vec{a}x+\vec{b})[/mm]
Lass das am besten hier so stehen:
[mm]\blue{\vec{a}=A(\vec{a}x+\vec{b})+(\vec{a}x+\vec{b})}[/mm]
[mm]\blue{\gdw \vec{a}=\left(A+I\right)\vec{a}x+\left(A+I\right)\vec{b}}[/mm]
Und jetzt machst Du einen Koeffizientenvergleich.
>
> [mm]\gdw \vec{a}=(\vec{a}x+\vec{b})(A+1)[/mm]
>
> [mm]\gdw -\vec{a}=-(\vec{a}x+\vec{b})(A+1)[/mm]
>
> [mm]\gdw -\vec{a}=(-\vec{a}x-\vec{b})(A+1)[/mm]
>
> [mm]\gdw -\vec{a}=-\vec{a}xA-\vec{b}-\vec{a}x-A\vec{b}[/mm]
>
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>
> Ist es überhaupt die richtige Herangehensweise?
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> > FRED
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> > > Über eine baldige Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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> > > Gruß, Marcel
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Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Do 18.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Danke schön!
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