Basisergänzungssatz < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | Seien [mm] v_1, v_2, w_1,..,w_5 [/mm] die folgenden Vektoren in [mm] \IR^4 [/mm] :
[mm] v_1=\vektor{1\\1\\0\\0}, v_2=\vektor{0\\0\\1\\0}, w_1=\vektor{2\\3\\1\\1}, w_2=\vektor{1\\2\\2\\1}, w_3=\vektor{1\\2\\1\\1}, w_4=\vektor{2\\1\\1\\1},
[/mm]
[mm] w_5\vektor{1\\1\\1\\2} [/mm]
Für i=0,...,5 sei [mm] U_i:= L(v_1,v_2,w_1,w_i). [/mm] Geben sie die Basen der [mm] U_i's [/mm] an und bestimmen sie s>=0 sowie j(1),...j(s) [mm] \in \{1,...,5\} [/mm] wie im basisergänzungssatz sagass [mm] (v_1,v_2,w_j_(_1_),...,w_j_(_s_) [/mm] eine basis von [mm] \IR^4 [/mm] ist. |
meine überlegung dazu: also erstmal hab ich bewiesen, dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig sind. dann kann man laut satz durch hinzunahme von geeigneten vektoren aus [mm] w_1,...,w_5 [/mm] zu einer basis von V ergänzen.
also [mm] U_1:=L(v_1,v_2,w_1) [/mm] jetzt soll ich ja die basis angeben,.. [mm] u_1 [/mm] ist dreidimensional da 3 lin unabhängige vektoren vorhanden. also ist [mm] v_1,v_2,w_1 [/mm] ja schon eine basis oder?(verwechsel ich da was) kommt mir asehr einfach vor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mo 07.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> also ist $ [mm] v_1,v_2,w_1 [/mm] $ ja schon eine basis oder?(verwechsel ich da was) kommt mir asehr einfach vor.
Wir befinden uns jedoch im [mm] \IR^4, [/mm] dass heißt, es können höchstens vier Vektoren [mm] x_i\in\IR^4 [/mm] mit i=1,2,3,4 linear unabhängig sein.
Und im [mm] \IR^4 [/mm] bilden genau 4 linear unabhängige Vektoren [mm] x_i\in\IR^4 [/mm] mit i=1,2,3,4 eine Basis. Drei linear unabhängige Vektoren können demnach keine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] bilden.
Und ob [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] w_1 [/mm] wirklich linear unabhängig sind, muss man auch noch prüfen.
Zunächst einmal ist definiert:
[mm] U_i:= L(v_1,v_2,w_1,w_i), [/mm] dass heißt:
[mm] U_1= L(v_1,v_2,w_1,w_1)= L(v_1,v_2,w_1).
[/mm]
Jetzt musst du prüfen, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Dass ist der Fall, wenn
[mm] \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*w_1=0 \gdw\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0
[/mm]
Diese Vorgehensweise kannst du auch bei [mm] U_2,...,U_5 [/mm] verfolgen.
MfG barsch
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