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| Aufgabe | | V K-VR. Dann lässt sich jede linear unabhängige Familie in V zu einer Basis ergänzen. (Tipp benutze das Lemma von Zorn) |
Ich hätte mir folgendes gedacht:
[mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] linear unabhängige Familie in V. [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] := S. Jetzt würde ich mir eine Halbordnung auf S definieren sowie eine Totalgeordnete Menge T [mm] \subset [/mm] S. T ist linear unabhängig => S linear unabhängig. Jetzt können wir sagen das S auch in W (Kommt aus der Halbrodung) liegt, sodass gilt [mm] (v_{i})_{i \in I}=(w_{i})_{i \in J}. [/mm] Also kann man solange Vektoren ergänzen, bis man diesen Punkt erreicht hat.
Ist meine Idee richtig?
LG DerPinguinagent
PS: Ist etwas plump geschrieben, es geht ja nur ums Prinzip.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mo 26.09.2016 | | Autor: | fred97 |
> V K-VR. Dann lässt sich jede linear unabhängige Familie
> in V zu einer Basis ergänzen. (Tipp benutze das Lemma von
> Zorn)
> Ich hätte mir folgendes gedacht:
>
> [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm] linear unabhängige Familie in V.
> [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm] := S. Jetzt würde ich mir eine
> Halbordnung auf S definieren
Auf S ??? Wozu ??
> sowie eine Totalgeordnete
> Menge T [mm]\subset[/mm] S. T ist linear unabhängig => S linear
> unabhängig.
Hä ? Du hast doch S als linear unabhängig gewählt !
> Jetzt können wir sagen das S auch in W (Kommt
> aus der Halbrodung) liegt,
Was ist W ????
> sodass gilt [mm](v_{i})_{i \in I}=(w_{i})_{i \in J}.[/mm]
Was ist [mm] (w_{i})_{i \in J} [/mm] ????
> Also kann man solange Vektoren ergänzen, bis man diesen
> Punkt erreicht hat.
Welchen Punkt ?
>
> Ist meine Idee richtig?
Nein.
Wo verwendest Du das Lemma von Zorn ?
>
> LG DerPinguinagent
>
> PS: Ist etwas plump geschrieben, es geht ja nur ums
> Prinzip.
Welches Prinzip ?? Etwa: "unpräzise Mathematik " ??
Na ja, mit Verlaub: Dein obeiger "Beweis" ist keiner.
Ich mach Dir das mal häppchenweise vor. Zwischendurch darfst Du eineiges ergänzen. Wenn Du das jeweils korrekt ergänzt, hast Du einen Beweis.
Sei also T eine linear unabhängige Familie in V. Setze
[mm] \mathcal{M}:=\{ W: T \subseteq W \subseteq V, W \quad ist \quad linear \quad unabhaengig \}
[/mm]
Auf [mm] \mathcal{M} [/mm] definieren wir eine Halbordnung " [mm] \le [/mm] " wie folgt: für $U,W [mm] \in \mathcal{M}$ [/mm] sei
$ U [mm] \le [/mm] W [mm] :\gdw [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] W$.
Warum ist das eine Halbordnung auf [mm] \mathcal{M} [/mm] ?
Nun sei [mm] \mathcal{K} [/mm] eine Kette in [mm] \mathcal{M}.
[/mm]
Gib eine obere Schranke von [mm] \mathcal{K} [/mm] in [mm] \mathcal{M} [/mm] an .
Das Zornsche Lemma liefert dann ein maximales Element $B [mm] \in \mathcal{M}$.
[/mm]
Zeige: B ist eine Basis von V.
FRED
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