Basisdarstellung, nicht klar < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Fr 14.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | V endlich dimensional, [mm] \phi: [/mm] V->V
Sei [mm] W\subseteq [/mm] V Teilraum und [mm] \phi(W) \subseteq [/mm] W (invariant) und [mm] \phi(W) [/mm] : W->W, [mm] \overline{\phi}: [/mm] V/W -> V/W
[mm] \overline{\phi}([v]) [/mm] = [ [mm] \phi(v)]
[/mm]
Mir [mm] \phi(W) [/mm] meine ich [mm] \phi [/mm] eingeschränkt auf W |
Hallo,
Für einen beweis brauche ich die Basisdarstellung (von der unten defenierten Basis), die mir nicht klar ist - wie sie im Skript steh.
Sei [mm] B'=(b_1,..,b_m) [/mm] Basis von W, dim(W) =m
ergänze zu basis von V [mm] B=(b_1,..,b_m,..,b_n)
[/mm]
[mm] \overline{B}= ([b_{m+1}],..,[b_n] [/mm] Basis von V/W
Dann ist [mm] [\phi]_{BB} [/mm] = [mm] \pmat{ [\phi(W)]_{B'B'} & * \\ 0 & [\overline{\phi}]_{\overline{B}\overline{B}} }
[/mm]
*..irgendwelche Einträge
Die ersten m Spalten sind mir klar, da Basisvektoren in W unter [mm] \phi [/mm] in W abgebildet werden und diese lassen sich wieder als Linearkombination der [mm] b_1,..,b_m [/mm] schreiben und die hinteren sind 0.
Nun aber für Spalten =j >m ist mir die Darstellung nicht klar.
Es hat sicher damit zu tun, dass [mm] \pi(b_i) [/mm] =0 für alle i <= m
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 So 16.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Keiner eine Idee??
Liebe Grüße,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mo 17.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei m+1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n.
Sei [mm] \phi(b_j)= s_1b_1+...+s_mb_m+s_{m+1}b_{m+1}+...+s_nb_n.
[/mm]
[mm] (s_i \in [/mm] K)
Die j-te Spalte von $ [mm] [\phi]_{BB} [/mm] $ ist also [mm] (s_1,...,s_m, s_{m+1},..., s_n)^T.
[/mm]
Dich interessiert, wie die [mm] s_i [/mm] für m+1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n aussehen.
Es ist [mm] \overline{\phi}([b_j])=[\phi(b_j)]= s_1[b_1]+...+s_m[b_m]+s_{m+1}[b_{m+1}]+...+s_n[b_n].
[/mm]
Da $ [mm] B'=(b_1,..,b_m) [/mm] $ eine Basis von W ist, gilt: [mm] [b_1]=...=[b_m]=[0],
[/mm]
also:
[mm] \overline{\phi}([b_j])=[\phi(b_j)]= s_{m+1}[b_{m+1}]+...+s_n[b_n].
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mo 17.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo, danke für die Antwort.
Aber ist das nicht dann in der falschen basis.
Ich will doch [mm] \phi (b_j) [/mm] darstellen in der Basis B
[mm] b_j \in B=(b_1,..,b_m,b_{m+1},..,b_n)
[/mm]
Bei B sind ja nicht die [mm] [b_i] [/mm] enthalten.
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Nein das ist schon richtig so, du bist ja dann im Faktorraum für [mm] m+1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n. und betrachtest doch dann die Äquivalenzklassen der [mm] b_i [/mm] aus B
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