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| Aufgabe | Es seien U, W Unterräume des [mm] \IR^4 [/mm] mit
U= { [mm] \vektor{3\\1\\3\\-2 }; \vektor{2\\1\\2\\0}; \vektor{0\\1\\0\\4} [/mm] }
W= { [mm] \vektor{1\\1\\1\\2}; \vektor{1\\2\\1\\2}; \vektor{1\\3\\1\\2} [/mm] }.
Bestimmen sie zu U, W, U [mm] \cap [/mm] W und U+W je eine Basis und die Dimension. |
Hallo,
so mal die Basis zu U:
ich transponiere die Vektoren und bringe sie in Trapezform Damit ich sehe, ob sie lin. abh. sind.
Also:
[mm] \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 2&1&2&0 \\ 0&1&0&4 } [/mm]
II - [mm] \bruch{2}{3}I \Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&\bruch{1}{3}&0& \bruch{4}{3} \\ 0&1&0&4 }
[/mm]
3*II [mm] \Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&1&0&4 }
[/mm]
III - II [mm] \Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&0&0&0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] { [mm] \vektor{3\\1\\3\\-2 }; \vektor{0\\1\\0\\4} [/mm] } bilden Basis von U
[mm] \Rightarrow [/mm] dim(U)=2
Richtig?
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Hallo Big_Head78,
> Es seien U, W Unterräume des [mm]\IR^4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit
>
> U= { [mm]\vektor{3\\1\\3\\-2 }; \vektor{2\\1\\2\\0}; \vektor{0\\1\\0\\4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> W= { [mm]\vektor{1\\1\\1\\2}; \vektor{1\\2\\1\\2}; \vektor{1\\3\\1\\2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }.
>
> Bestimmen sie zu U, W, U [mm]\cap[/mm] W und U+W je eine Basis und
> die Dimension.
>
> Hallo,
>
> so mal die Basis zu U:
>
> ich transponiere die Vektoren und bringe sie in Trapezform
> Damit ich sehe, ob sie lin. abh. sind.
>
> Also:
>
> [mm]\pmat{ 3&1&3&-2 \\ 2&1&2&0 \\ 0&1&0&4 }[/mm]
>
> II - [mm]\bruch{2}{3}I \Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&\bruch{1}{3}&0& \bruch{4}{3} \\ 0&1&0&4 }[/mm]
>
> 3*II [mm]\Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&1&0&4 }[/mm]
>
> III - II [mm]\Rightarrow \pmat{ 3&1&3&-2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&0&0&0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\vektor{3\\1\\3\\-2 }; \vektor{0\\1\\0\\4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> bilden Basis von U
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim(U)=2
>
> Richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Gut...
ich habe jetzt auch:
W: { [mm] \vektor{1\\0\\1\\2}; \vektor{0\\1\\0\\0} [/mm] } bildet Basis von W, dim(W)=2
U+W: { [mm] \vektor{1\\0\\1\\0}; \vektor{0\\0\\0\\1}; \vektor{0\\1\\0\\0} [/mm] } bildet Basis von U+W, dim(U+W)=3
dann mit der Dimensionsformel dim(U [mm] \cap [/mm] W) bestimmen:
dim(U [mm] \cap [/mm] W)= dim(U)+dim(W)-dim(U+W)=2+2-3=1
So und nun suche ich eine Basis für dim(U [mm] \cap [/mm] W), bekomme ich aber nicht hin...kann mir da jemand helfen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Big_Head78,
> Gut...
>
> ich habe jetzt auch:
>
> W: { [mm]\vektor{1\\0\\1\\2}; \vektor{0\\1\\0\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} bildet
> Basis von W, dim(W)=2
>
> U+W: { [mm]\vektor{1\\0\\1\\0}; \vektor{0\\0\\0\\1}; \vektor{0\\1\\0\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } bildet Basis von U+W, dim(U+W)=3
>
> dann mit der Dimensionsformel dim(U [mm]\cap[/mm] W) bestimmen:
>
> dim(U [mm]\cap[/mm] W)= dim(U)+dim(W)-dim(U+W)=2+2-3=1
>
> So und nun suche ich eine Basis für dim(U [mm]\cap[/mm] W), bekomme
> ich aber nicht hin...kann mir da jemand helfen?
Der gesuchte Vektor ist der,
der sowohl in U als auch in W liegt.
Gruss
MathePower
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Also sowohl die Basis von U als auch die Basis von W spannen eine Ebene auf, der Schnitt der beiden ist dann eine Gerade und ich erhalte das LGS:
[mm] x_1*\vektor{3\\1\\3\\-2}+x_2*\vektor{0\\1\\0\\4}=x_3*\vektor{1\\0\\1\\2}+x_4*\vektor{0\\1\\0\\0} \gdw [/mm]
[mm] x_1*\vektor{3\\1\\3\\-2}+x_2*\vektor{0\\1\\0\\4}+x_3*\vektor{1\\0\\1\\2}+x_4*\vektor{0\\1\\0\\0}=0
[/mm]
richtig bis hier?
Mit dem Wissen, dass der Schnitt eine gerade ist, weiss ich doch auch schon, dass es einen Parameter gibt, oder? Das passt dann ja auch zur dim(U [mm] \cap [/mm] W)=1.
Die Lösung hat also die Gestalt: [mm] \lambda*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] wobei [mm] x_i [/mm] jeweils eine Zahl ist.
Richtig vermutet?
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Hallo Big_Head78,
> Also sowohl die Basis von U als auch die Basis von W
> spannen eine Ebene auf, der Schnitt der beiden ist dann
> eine Gerade und ich erhalte das LGS:
>
> [mm]x_1*\vektor{3\\
1\\
3\\
-2}+x_2*\vektor{0\\
1\\
0\\
4}=x_3*\vektor{1\\
0\\
1\\
2}+x_4*\vektor{0\\
1\\
0\\
0} \gdw[/mm]
> [mm]x_1*\vektor{3\\
1\\
3\\
-2}+x_2*\vektor{0\\
1\\
0\\
4}+x_3*\vektor{1\\
0\\
1\\
2}+x_4*\vektor{0\\
1\\
0\\
0}=0[/mm]
>
> richtig bis hier?
>
> Mit dem Wissen, dass der Schnitt eine gerade ist, weiss ich
> doch auch schon, dass es einen Parameter gibt, oder? Das
> passt dann ja auch zur dim(U [mm]\cap[/mm] W)=1.
> Die Lösung hat also die Gestalt: [mm]\lambda*\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4}[/mm]
> wobei [mm]x_i[/mm] jeweils eine Zahl ist.
Das ist ein bissl blöd bezeichnet, weil du die [mm]x_i[/mm] schon als Koeffizienten verbraucht hast.
Du kannst die obige erste Vektorgleichung in ein LGS umwandeln und etwa [mm]x_2,x_3,x_4[/mm] eliminieren und bekommst als Lösung [mm]x_1\cdot{}\vektor{a\\
b\\
c\\
d}[/mm], wobei dann [mm]\left\{\vektor{a\\
b\\
c\\
d}\right\}[/mm] eine Basis des Schnittes ist.
Rechne das mal konkret aus ...
>
> Richtig vermutet?
Gruß
schachuzipus
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