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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Do 14.02.2008 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils eine Basis und eine Dimension von U1 [mm] \cap [/mm] U2 für
U1:= < [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0} [/mm] >
und
U2:= < [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] >
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Hallo zusammen,
ich bräuchte mal jemanden, der mir sagen kann, ob meine Lösungsidee so in Ordnung ist. Ich habe nämlich bereits unendlich viele Ansätze für solche Art von Aufgaben gefunden, aber nie was Einheitliches und bin gerade etwas verwirrt...
Also: Ich habe erst mal beide Erzeugendensysteme gleichgesetzt, nach Null freigestellt und dann die Darstellungsmatrix des homogenen Systems daraus gebildet:
a [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1} [/mm] + b [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0} [/mm] = c [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + d [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + e [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \Rightarrow
[/mm]
a [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1} [/mm] + b [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0} [/mm] - c [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] - d [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0} [/mm] - e [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & | & 0 \\ 2 & 2 & -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & | & 0 \\ } [/mm] ... nach Umformung komme ich schließlich zu ... [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ }
[/mm]
Nun wären meine ersten drei Vektoren linear unabhängig, so dass d und e meine freien Variablen wären.
Damit ergibt sich
a = e
b = -d-e
c = -d-e
Setze ich nun
1.) d = 1 und e = 0 so erhalte ich den Vektor
[mm] \vektor{0 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
und
2.) d = 0 und e = 1 so erhalte ich den Vektor
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Diese beiden Vektoren können aber keine Basisvektoren sein, da sie [mm] \in \IR^{5} [/mm] sind. (Sind das überhaupt Vektoren?) Und was sind denn nun meine gesuchten Basisvektoren???
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Und vielen Dank schon mal vorab für Eure Hilfe!
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> Bestimmen Sie jeweils eine Basis und eine Dimension von U1
> [mm]\cap[/mm] U2 für
> U1:= < [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> >
> und
> U2:= < [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> >
>
>
> Hallo zusammen,
>
> ich bräuchte mal jemanden, der mir sagen kann, ob meine
> Lösungsidee so in Ordnung ist. Ich habe nämlich bereits
> unendlich viele Ansätze für solche Art von Aufgaben
> gefunden, aber nie was Einheitliches und bin gerade etwas
> verwirrt...
>
> Also: Ich habe erst mal beide Erzeugendensysteme
> gleichgesetzt, nach Null freigestellt und dann die
> Darstellungsmatrix des homogenen Systems daraus gebildet:
>
> a [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm] + b [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> = c [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + d [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> + e [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \Rightarrow[/mm]
>
> a [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm] + b [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> - c [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] - d [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> - e [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & | & 0 \\ 2 & 2 & -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & | & 0 \\ }[/mm]
> ... nach Umformung komme ich schließlich zu ... [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ }[/mm]
>
> Nun wären meine ersten drei Vektoren linear unabhängig, so
> dass d und e meine freien Variablen wären.
> Damit ergibt sich
> a = e
> b = -d-e
> c = -d-e
Hallo,
ich habe das nicht im Einzelnen nachgerechnet, Dein Tun ist jedenfalls sinnvoll.
Du weißt nun, daß man einen Vektor a [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm] + b [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0}[/mm] , welcher auch in dem anderen Raum liegt, schreiben kann als
e [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm] + (-d-e) [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0}[/mm] [mm] =e\vektor{0-0 \\ 0-(-1)\\ 2-2 \\ 1-0}+d\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 0}=e\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 1}+d\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 0},
[/mm]
und somit ist [mm] (\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 0}) [/mm] eine Basis des Schnittes.
Da der Schnitt zweidimensional ist, und der erste Deiner Räume auch, ist [mm] U_1\subset U_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 14.02.2008 | | Autor: | PixCell |
> Hallo,
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> ich habe das nicht im Einzelnen nachgerechnet, Dein Tun ist
> jedenfalls sinnvoll.
>
> Du weißt nun, daß man einen Vektor a [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> + b [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0}[/mm] , welcher auch in dem
> anderen Raum liegt, schreiben kann als
>
> e [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm] + (-d-e) [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> [mm]=e\vektor{0-0 \\ 0-(-1)\\ 2-2 \\ 1-0}+d\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 0}=e\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 1}+d\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 0},[/mm]
>
> und somit ist [mm](\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 0})[/mm]
> eine Basis des Schnittes.
Ach so geht das! Langsam dämmert es...
Hätte ich dann auch genauso gut (-d-e) [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 1 \\ 0} [/mm] + d [mm] \vektor{1 \\ 1\\ -1 \\ 0} [/mm] + e [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 1 \\ 1} [/mm] verwenden können. Also die rechte Seite der Gleichung mit den Vektoren aus U2 und c = -d-e?
Dann käme dabei raus: d [mm] \vektor{-1 + 1 \\ 0 + 1 \\ -1 - 1 \\ 0 + 0} [/mm] + e [mm] \vektor{-1 + 1 \\ 0 + 1 \\ -1 - 1 \\ 0 + 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1\\ -2 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 1}
[/mm]
Was, wie ich sehe, ja das Gleiche ist wie bei Verwendung der Vektoren aus U1.
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> Ach so geht das! Langsam dämmert es...
> Hätte ich dann auch genauso gut (-d-e) [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm]
> + d [mm]\vektor{1 \\ 1\\ -1 \\ 0}[/mm] + e [mm]\vektor{1 \\ 1\\ 1 \\ 1}[/mm]
> verwenden können. Also die rechte Seite der Gleichung mit
> den Vektoren aus U2 und c = -d-e?
>
> Dann käme dabei raus: d [mm]\vektor{-1 + 1 \\ 0 + 1 \\ -1 - 1 \\ 0 + 0}[/mm]
> + e [mm]\vektor{-1 + 1 \\ 0 + 1 \\ -1 - 1 \\ 0 + 1}[/mm] = d[mm]\vektor{0 \\ 1\\ -2 \\ 0}[/mm]
> + e[mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Was, wie ich sehe, ja das Gleiche ist wie bei Verwendung
> der Vektoren aus U1.
Hallo,
ja, jetzt hast Du es verstanden.
Eine Dimension niedriger habt Ihr das ja sicher auch in der Schule gemacht: beim Schneiden von Geraden und Ebenen.
Gruß v. Angela
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