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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Mi 09.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] U=<\vektor{1\\0\\-1\\-1}\vektor{-1\\1\\-1\\-1}\vektor{1\\1\\-3\\-3}\vektor{0\\1\\0\\1}\vektor{-1\\4\\-3\\-1}> \subseteq \IR^4 [/mm]
1) Untersuchen Sie, obe der Vektor [mm] \vektor{1\\2\\-1\\1} [/mm] in U liegt.
2) Bestimmen Sie eine Basis von U. |
Guten Morgen,
ich habe für den 1. Teil ermittelt, dass die erweiterte Koeffizentenmatrix folgendermassen aussieht:
[mm] \pmat{1&-1&1&0&-1& | 1\\0&1&1&1&4& | 2\\0&0&0&1&2& | 2\\0&0&0&0&0& | 0} [/mm].
Das bedeutet, der Rang der Koeff.Matrix ist gleich dem Rang der erw. Koeff.Matrix und der angegebene Vektor liegt also in U.
Wie ist jetzt die Basis zu bestimmen ? Kann ich einfach von den vorgegebenen 5 Vektoren 4 herausnehmen und nachrechnen, ob sie linear unaghängig sind und diese dann als Basis nehmen, oder gibt es eine elegantere Lösung - oder ist meine Überlegung komplett falsch ?
Danke, Susanne.
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> Sei
> [mm]U=<\vektor{1\\0\\-1\\-1}\vektor{-1\\1\\-1\\-1}\vektor{1\\1\\-3\\-3}\vektor{0\\1\\0\\1}\vektor{-1\\4\\-3\\-1}> \subseteq \IR^4[/mm]
>
> 1) Untersuchen Sie, obe der Vektor [mm]\vektor{1\\2\\-1\\1}[/mm] in
> U liegt.
>
> 2) Bestimmen Sie eine Basis von U.
> Guten Morgen,
> ich habe für den 1. Teil ermittelt, dass die erweiterte
> Koeffizentenmatrix folgendermassen aussieht:
> [mm]\pmat{1&-1&1&0&-1& | 1\\0&1&1&1&4& | 2\\0&0&0&1&2& | 2\\0&0&0&0&0& | 0} [/mm].
>
> Das bedeutet, der Rang der Koeff.Matrix ist gleich dem Rang
> der erw. Koeff.Matrix und der angegebene Vektor liegt also
> in U.
Hallo,
ich habe Deine Umformung nicht nachgerechnet.
Wenn sie richtig ist, ist Deine Antwort richtig.
>
> Wie ist jetzt die Basis zu bestimmen ? Kann ich einfach von
> den vorgegebenen 5 Vektoren 4 herausnehmen und nachrechnen,
> ob sie linear unaghängig sind und diese dann als Basis
> nehmen,
Der Rang Deiner Matrix ist 3. Du wirst also nicht 4 linear unabhängige finden, denn der erzeugte Unterraum U hat nur die Dimension drei.
Drei. Drei linear unabhängige kannst Du Dir herausnehmen, dann hast Du eine Basis von U.
Du kannst auch zuerst gucken, ob die ersten beiden lin. unabhängig sind, den nächsten dazunehmen, gucken, ob sie linear unabhängig sind, wenn nein, rauswerfen, den nächsten nehmen, wieder gucken, usw.
Also sukzessive eine Basis aufbauen.
> oder gibt es eine elegantere Lösung -
Ja. Du hast in Deiner ZSF drei Stufen.
Die linke wird v. einem Vektor gebildet, die anderen beiden jeweils v. zweien, ich hoffe, Du verstehst, was ich meine.
Die führenden Elemente Deiner Zeilen stehen an Position 1,2 und 4, also kannst Du den 1., 2. und 4. Startvektor als Basis nehmen.
(1., 3. und 5. ginge auch - und natürlich hat U noch viiiiiiele andere Basen).
Eine andere Methode zur Bestimmung der Basis ist bei manchen Fragestellungen auch sehr praktisch:
Du kannst die Vektoren als Zeilen in die Matrix legen, auf ZSF bringen.
Die erhaltenen Zeilen "stellst" Du dann wieder hin: sie sind eine Basis des aufgespannten Raumes.
Gruß v. Angela
oder ist
> meine Überlegung komplett falsch ?
>
> Danke, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mi 09.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Angela,
vielen Dank für die tolle Erklärung !
Ein paar Fragen habe ich noch:
> > [mm]\pmat{1&-1&1&0&-1& | 1\\0&1&1&1&4& | 2\\0&0&0&1&2& | 2\\0&0&0&0&0& | 0} [/mm].
> Der Rang Deiner Matrix ist 3. Du wirst also nicht 4 linear
> unabhängige finden, denn der erzeugte Unterraum U hat nur
> die Dimension drei.
Weil nur 3 Zeilen in der erw.Koeff.Matrix übrigbleiben ist der Rang 3 - und damit hat die Basis auch nur 3 Vektoren - stimmt das ?
Und wenn die erw.Koeff.Matrix nicht den gleichen Rang wie die Koeff.Matrix hätte, dann würde der angegebene Vektor nicht zu diesem Unterraum gehören - stimmt das ?
> Ja. Du hast in Deiner ZSF drei Stufen.
>
> Die linke wird v. einem Vektor gebildet, die anderen beiden
> jeweils v. zweien, ich hoffe, Du verstehst, was ich meine.
> Die führenden Elemente Deiner Zeilen stehen an Position
> 1,2 und 4, also kannst Du den 1., 2. und 4. Startvektor als
> Basis nehmen.
>
> (1., 3. und 5. ginge auch - und natürlich hat U noch
> viiiiiiele andere Basen).
Bedeutet das in diesem Fall:
[mm]\vektor{1\\0\\0\\0}\vektor{-1\\1\\0\\0}\vektor{0\\1\\1\\0}[/mm] wäre z.B. eine Basis zu dem Unterraum ?
(das stimmt wahrscheinlich nicht, weil der 4.Wert immer 0 ist)
> Eine andere Methode zur Bestimmung der Basis ist bei
> manchen Fragestellungen auch sehr praktisch:
>
> Du kannst die Vektoren als Zeilen in die Matrix legen, auf
> ZSF bringen.
Also aus den 5 4-er Vektoren mache ich eine 5x4 Matrix, bringe diese in ZSF (dabei fallen hierbei 2 Zeilen als 0-Zeilen raus) und die übrigen 3 Zeilen stelle ich als Vektoren wieder auf ?
Ich habe das probiert und erhalte:
[mm] \pmat{1&0&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\1&1&-3&-3\\0&1&0&1\\-1&4&-&-1} [/mm].
Dies in ZFS ist [mm] \pmat{1&0&-1&-1\\0&1&-2&-2\\0&0&0&0\\0&0&2&3\\0&0&0&0} [/mm] [/mm].
Und jetzt könnte ich [mm]\vektor{1\\0\\-1\\-1}\vektor{0\\1\\-2\\-2}\vektor{0\\0\\2\\3}[/mm] auch als Basis nehmen (vorausgesetz meine Rechnung stimmt) ?
Das kannte ich nicht - Danke !
LG, Susanne.
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> Ein paar Fragen habe ich noch:
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> > > [mm]\pmat{1&-1&1&0&-1& | 1\\0&1&1&1&4& | 2\\0&0&0&1&2& | 2\\0&0&0&0&0& | 0} [/mm].
> Weil nur 3 Zeilen in der erw.Koeff.Matrix übrigbleiben ist
> der Rang 3 - und damit hat die Basis auch nur 3 Vektoren -
> stimmt das ?
Ja.
> Und wenn die erw.Koeff.Matrix nicht den gleichen Rang wie
> die Koeff.Matrix hätte, dann würde der angegebene Vektor
> nicht zu diesem Unterraum gehören - stimmt das ?
Ja, denn dann hätte Dein GS keine Lösung, es gäbe keine Linearkombination der 5 Vektoren, die das gewünschte Ergebnis liefert.
>
> > Ja. Du hast in Deiner ZSF drei Stufen.
> >
> > Die linke wird v. einem Vektor gebildet, die anderen beiden
> > jeweils v. zweien, ich hoffe, Du verstehst, was ich meine.
> > Die führenden Elemente Deiner Zeilen stehen an Position
> > 1,2 und 4, also kannst Du den 1., 2. und 4. Startvektor als
> > Basis nehmen.
> >
> > (1., 3. und 5. ginge auch - und natürlich hat U noch
> > viiiiiiele andere Basen).
> Bedeutet das in diesem Fall:
> [mm]\vektor{1\\0\\0\\0}\vektor{-1\\1\\0\\0}\vektor{0\\1\\1\\0}[/mm]
> wäre z.B. eine Basis zu dem Unterraum ?
Neiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiin! NEIN! Bloß nicht!!!!
Sondern: Die Vektoren, die in der Eingangsmatrix an diesen Positionen standen.
> (das stimmt wahrscheinlich nicht, weil der 4.Wert immer 0
> ist)
Ah. Du ahnst es selbst.
>
> > Eine andere Methode zur Bestimmung der Basis ist bei
> > manchen Fragestellungen auch sehr praktisch:
> >
> > Du kannst die Vektoren als Zeilen in die Matrix legen, auf
> > ZSF bringen.
> Also aus den 5 4-er Vektoren mache ich eine 5x4 Matrix,
> bringe diese in ZSF (dabei fallen hierbei 2 Zeilen als
> 0-Zeilen raus) und die übrigen 3 Zeilen stelle ich als
> Vektoren wieder auf ?
> Ich habe das probiert und erhalte:
>
> [mm]\pmat{1&0&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\1&1&-3&-3\\0&1&0&1\\-1&4&-&-1} [/mm].
>
> Dies in ZFS ist
> [mm]\pmat{1&0&-1&-1\\0&1&-2&-2\\0&0&0&0\\0&0&2&3\\0&0&0&0}[/mm] [/mm].
> Und jetzt könnte ich
> [mm]\vektor{1\\0\\-1\\-1}\vektor{0\\1\\-2\\-2}\vektor{0\\0\\2\\3}[/mm]
> auch als Basis nehmen (vorausgesetz meine Rechnung stimmt)
> ?
Ja.
(Meist finde ich die Spaltenmethode aber viel praktischer, weil man im selben Aufwasch noch andere Fragen beantworten kann. Ist in Deinem Beispiel ja auch so.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mi 09.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
> [mm]\vektor{1\\0\\0\\0}\vektor{-1\\1\\0\\0}\vektor{0\\1\\1\\0}[/mm]
> > wäre z.B. eine Basis zu dem Unterraum ?
>
> Neiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiin! NEIN! Bloß
> nicht!!!!
>
> Sondern: Die Vektoren, die in der Eingangsmatrix an diesen
> Positionen standen.
Ah, ok VIELEN VIELEN DANK !
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