Basis von R^X < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Sei X eine endliche Menge. Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm] {f_{x}}x \in [/mm] X eine Basis von [mm] \IR^X [/mm] sind, wo
[mm] f_{x}(y) [/mm] = 1 für y = x ...und... 0 für y [mm] \not= [/mm] x |
Also, um zu zeigen, dass es sich um eine Basis handelt, muss ich lineare Unabhängikeit zeigen, und zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist.
Die lineare Unabhängikeit ist hier nicht schwer:
Denn: [mm] f_{x}(y)= f_{1}(y)+.......+f_{t}(y)
[/mm]
kann nicht als Linearkombination gebildet werden, da ja per Definition immer nur eine Funktion [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Aber ich weiß nicht, wie ich hier ein Erzeugendensystem nachweisen soll?
Wenn z.B. Vektoren gegeben sind, muss ich ja einfach nur "nachrechnen", aber hier geht das ja nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei X eine endliche Menge. Zeigen Sie, dass die Funktionen
> [mm]{f_{x}}x \in[/mm] X eine Basis von [mm]\IR^X[/mm] sind, wo
>
> [mm]f_{x}(y)[/mm] = 1 für y = x ...und... 0 für y
> [mm]\not=[/mm] x
> Also, um zu zeigen, dass es sich um eine Basis handelt,
> muss ich lineare Unabhängikeit zeigen, und zeigen, dass es
> ein Erzeugendensystem ist.
>
> Die lineare Unabhängikeit ist hier nicht schwer:
>
> Denn: [mm]f_{x}(y)= f_{1}(y)+.......+f_{t}(y)[/mm]
> kann
> nicht als Linearkombination gebildet werden, da ja per
> Definition immer nur eine Funktion [mm]\not=[/mm] 0 ist.
Was ist los ??
Sei [mm] X=\{x_1,...,x_n\} [/mm] mit [mm] x_i \ne x_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
Zeigen sollst Du: [mm] f_{x_1}, f_{x_2},...,f_{x_n} [/mm] sind linear unabhängig.
Dazu zeige: aus [mm] s_1,...,s_n \in \IR [/mm] und [mm] s_1f_{x_1}+s_2f_{x_2}+...+s_nf_{x_n}=0 [/mm] folgt [mm] s_1=...=s_n=0
[/mm]
>
> Aber ich weiß nicht, wie ich hier ein Erzeugendensystem
> nachweisen soll?
> Wenn z.B. Vektoren gegeben sind, muss ich ja einfach nur
> "nachrechnen", aber hier geht das ja nicht.
Nimm ein f [mm] \in \IR^X [/mm] und zeige: es gibt [mm] t_1,...,t_n \in \IR [/mm] mit:
[mm] f=t_1f_{x_1}+t_2f_{x_2}+...+t_nf_{x_n}.
[/mm]
Springt Dir da nicht was in die Augen ? Und zwar, wie Du die [mm] t_j [/mm] zu wählen hast ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Also zur Linearität: Da hab ich mich falsch ausgedrückt. Natürlich muss gelten:
[mm] s_{1}f_{x1}+.........+s_{n}f_{xn}=0
[/mm]
Nehmen wir an, Y = 1, dann ist genau [mm] f_{x1} [/mm] = 1, und damit [mm] s_{1}=0, [/mm] alle anderen s beliebig. Da aber [mm] s_{1}f_{x1}+.........+s_{n}f_{xn}=0
[/mm]
für alle Y betrachtet wird, nimmt jede [mm] f_{xn} [/mm] für ein x den Wert 1 ein, während alle anderen 0 sind. Und dauraus folgt: s1=s2=...=sn=0
Und zu Zwei:
erstmal noch eine Frage: was bedeutet eigentlich [mm] \IR^X [/mm] ? Denn X ist ja eine Menge? Ist dann die Dimension von [mm] \IR^X [/mm] gleich der Kardinalität von X, oder wie ist das gemeint?
Und nein, leider fällt mir da erstmal nichts ins Auge...
f ist eine beliebige Funktion aus [mm] \IR^X, [/mm] und für die muss dann [1 für y = x ...und... 0 für y] nicht mehr erfüllt sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also zur Linearität: Da hab ich mich falsch ausgedrückt.
> Natürlich muss gelten:
>
> [mm]s_{1}f_{x1}+.........+s_{n}f_{xn}=0[/mm]
>
> Nehmen wir an, Y = 1
Hä ? Was ist Y ?
> , dann ist genau [mm]f_{x1}[/mm] = 1, und damit
> [mm]s_{1}=0,[/mm] alle anderen s beliebig. Da aber
> [mm]s_{1}f_{x1}+.........+s_{n}f_{xn}=0[/mm]
> für alle Y betrachtet wird, nimmt jede [mm]f_{xn}[/mm] für ein x
> den Wert 1 ein, während alle anderen 0 sind. Und dauraus
> folgt: s1=s2=...=sn=0
Das ist doch Murks !
Wir haben: [mm]s_{1}f_{x1}+.........+s_{n}f_{xn}=0[/mm].
Werte wir das an der Stelle [mm] x_j [/mm] aus, so bekommen wir
[mm] s_j=0,
[/mm]
denn [mm] f_{x_j}(x_j)=1 [/mm] und [mm] f_{x_j}(x_i)=0, [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
>
>
>
> Und zu Zwei:
> erstmal noch eine Frage: was bedeutet eigentlich [mm]\IR^X[/mm] ?
Das ist die Menge Aller Abbildungen f:X [mm] \to \IR
[/mm]
> Denn X ist ja eine Menge? Ist dann die Dimension von [mm]\IR^X[/mm]
> gleich der Kardinalität von X, oder wie ist das gemeint?
>
> Und nein, leider fällt mir da erstmal nichts ins Auge...
> f ist eine beliebige Funktion aus [mm]\IR^X,[/mm] und für die muss
> dann [1 für y = x ...und... 0 für y] nicht
> mehr erfüllt sein?
Mit dem Ansatz
$ [mm] f=t_1f_{x_1}+t_2f_{x_2}+...+t_nf_{x_n} [/mm] $
hat man [mm] f(x_j)=t_j. [/mm] Klingelt es nun ?
FRED
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