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Heute hörts nicht auf!
Ich habe sogar noch eine frage:
Und zwar habe ich die folgen von Vektoren
V: [1,2,3] , [1,0,1] und [3,2,1]
W:[1,1,1] , [0,1,0] und [1,0,-2]
gegeben und soll zeigen, das das eine basis des [mm] Q^3 [/mm] ist.
Bin ich richtig das ich nur zeigen muss, dass die Vektoren von V und W linear unabhängig sind und das es sich um ein erzeugendensystem handelt?
Wie zeige ich denn an diesem konkreten beispiel, dass es ein ers-sys ist???
Hatten das nur theoretisch und das verstehe ich irgendwie gar nicht
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Und zwar habe ich die folgen von Vektoren
> V: [1,2,3] , [1,0,1] und [3,2,1]
> W:[1,1,1] , [0,1,0] und [1,0,-2]
>
> gegeben und soll zeigen, das das eine basis des [mm]Q^3[/mm] ist.
> Bin ich richtig das ich nur zeigen muss, dass die Vektoren
> von V und W linear unabhängig sind und das es sich um ein
> erzeugendensystem handelt?
> Wie zeige ich denn an diesem konkreten beispiel, dass es
> ein ers-sys ist???
Was bedeutet denn Erzeugendensystem? Dass du jeden Vektor [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in \IQ^3[/mm] darstellen kannst als [mm]a_1*\vektor{1 \\ 2 \\ 3} + a_2*\vektor{1 \\ 0 \\ 1} + a_3*\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm] wobei natürlich die [mm] $a_i$'s [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] sein sollen.
Das ist aber nichts anderes als das LGS zu lösen
[mm]\pmat{1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2\\ 3 & 1 & 1} \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}=\vektor{x \\ y\\z}[/mm]
Wenn nun aber die 3 Vektoren linear unabhängig sind, ist die Matrix vollrangig, und damit existiert eine eindeutige Lösung des LGS.
Drei linear unabhängige Vektoren im dreidimensionalen Raum sind also immer ein Erzeugendensystem!
Es reicht hier sogar zu zeigen, dass die Vektoren linaer unabhängig sind.
Hoffe, ich konnte dir helfen.
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Fr 18.02.2005 | | Autor: | gymnozist |
Alles klar, dann war das so in etwa wie ich es mir gedacht hatte, ich war mir aber absolut nicht sicher.
Danke
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