Basis von Kern(\phi) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:42 So 28.01.2007 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | | Sei [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}, \phi(x,y,z) [/mm] = (2x +y + 3z, x + 4y - z, 7y + 5z). Geben sie eine Basis von [mm] kern(\phi). [/mm] |
hab das ganze jetzt mal als matrix geschrieben:
[mm] \pmat{2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \\ 0 & 7 & 5}
[/mm]
und das ganze umgeformt, bis ich auf folgende zwei Zeilen gekommen bin:
5x + 27y = 0
-7y + 5z = 0
Leider hab ich jetzt keine Ahnung, wo ich weitermachen soll...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 So 28.01.2007 | | Autor: | Speyer |
okay, ich habs jetzt nochmal umgeformt, und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
[mm] \pmat{1 & 4 & -1 \\ & 7 & 5 \\ & & 10}
[/mm]
Wenn ich jetzt für 10z = 0, also z=0 einsetze,
folgt daraus doch mit der zweiten Zeile:
7y = -5z, also 7y = 0, also y=0,
und dementsprechend dann mit der 1. Zeile,
dass auch x=0 ist...
Ich häng hier total fest, bitte helft mir 
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> Wenn ich jetzt für 10z = 0, also z=0 einsetze,
> folgt daraus doch mit der zweiten Zeile:
> 7y = -5z, also 7y = 0, also y=0,
> und dementsprechend dann mit der 1. Zeile,
> dass auch x=0 ist...
>
> Ich häng hier total fest, bitte helft mir
Hallo,
Du hängst doch gar nicht!
Es gibt genau einen Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\z }, [/mm] welcher dein GS löst, nämlich der Vektor
[mm] \vektor{x \\ y \\z }=\vektor{0 \\ 0 \\0}
[/mm]
Also ist Kern [mm] \phi [/mm] =0 bzw. Kern [mm] \phi=\{\vektor{0 \\ 0 \\0}\}, [/mm] je nachdem, welche Schreibweise Ihr verwendet.
Die Basis? Die leere Menge. (Es kommt ja als Basisvektor allenfalls der Nullvektor infrage, doch der scheidet aus, weil er von sich selbst abhängig ist.)
Noch eins zur Vervollkommnung Deiner Bildung und weil's geradeso schön paßt: wenn der Kern einer Abbildung =0 ist, ist die Abbildung injektiv.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 28.01.2007 | | Autor: | Speyer |
d.h. der Nullvektor ist also auch eine Basis des Kerns von Phi, oder?
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> d.h. der Nullvektor ist also auch eine Basis des Kerns von
> Phi, oder?
Nein, die Basis ist [mm] \emptyset, [/mm] wie Du inzwischen auch in meiner bearbeiteten Antwort lesen kannst. Gedankenübertragung...
Gruß v. Angela
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