matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesBasis von Fix(F)
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Basis von Fix(F)
Basis von Fix(F) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Basis von Fix(F): Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Do 06.02.2014
Autor: Babybel73

Aufgabe
Sei der Endomorphismus F gegeben durch
b) F: [mm] \IR[/mm] [t] [mm] \to \IR[/mm] [t], P [mm] \mapsto [/mm] P'
c) F: [mm] C^{\infty}(\IR, \IR) \to C^{\infty}(\IR, \IR), [/mm] f [mm] \mapsto [/mm] f'
Bestimme jeweils eine Basis von Fix(F)

Hallo zusammen

Ich verstehe unter der Aufgabe das folgende (hoffe es ist richtig...)
Also: Ein Punkt x heistt Fixpunkt, falls die Gleichung f(x)=x erfüllt ist.

Zu b)
[mm] p(x)=a_0+a_1*t+....a_n*t^n [/mm]
[mm] p'(x)=a_1+.....+n*a_n*t^{n-1} [/mm]

Habe das jetzt erstmal für n=2 angeschaut:
[mm] p(x)=a_0+a_1*t+a_2*t^2 [/mm]
[mm] p'(x)=a_1+2*a_2*t [/mm]
Nun muss ja gelten: p(x)=p'(x) in Fix(F)
Also: [mm] a_0+a_1*t+a_2*t^2=a_1+2*a_2*t [/mm]
[mm] \Rightarrow a_0=a_1=a_2=0 [/mm]

Irgendwie glaube ich nicht, dass das richtig ist...
Dann wäre ja die Basis (0,0,0).
Kann mir jemand weiterhelfen?

        
Bezug
Basis von Fix(F): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Do 06.02.2014
Autor: Sax

Hi,

doch, das stimmt.
Du hast gerade bewiesen (na ja, fast jedenfalls), dass der Fixraum in b) der Nullraum ist. Seine Basis ist allerdings die leere Menge, weil der Nullvektor (dessen Koordinatendarstellung du angibst, eigentlich : das Nullpolynom [mm] p_o [/mm] mit [mm] p_o(x)=0 [/mm] für alle x) linear abhängig ist.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Basis von Fix(F): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Do 06.02.2014
Autor: Babybel73

Hallo Sax

Ok. Danke vielmals.
Und wie sieht mit c aus? Wie muss ich dort vorgehen?

Bezug
                        
Bezug
Basis von Fix(F): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Do 06.02.2014
Autor: Sax

Hi,

bei c) gibst es vier Möglichkeiten :

erstens : du kennst die Lösung, dann schreib sie hin.
zweitens : du kennst sie nicht, aber kannst sie erraten, dann schreib sie hin.
drittens : du kannst sie nicht mal erraten, dann mach einen Potenzreihenansatz für f : [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n [/mm]  und verfahre genauso, wie du im Fall n=2 vorgegangen bist. Du kannst die [mm] a_n [/mm] dadurch bestimmen und erhälst eine Folge, die du wahrscheinlich kennst und somit einen geläufigen Ausdruck für f(x).
viertens : wenn das alles nichts wird, frag noch mal nach, dann verrat ich's dir.

Gruß Sax

Bezug
                                
Bezug
Basis von Fix(F): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Do 06.02.2014
Autor: Babybel73


> Hi,
>  
> bei c) gibst es vier Möglichkeiten :
>  
> erstens : du kennst die Lösung, dann schreib sie hin.

Nein, das tu ich leider nicht!

>  zweitens : du kennst sie nicht, aber kannst sie erraten,
> dann schreib sie hin.

Wie sollte ich die erraten können?

>  drittens : du kannst sie nicht mal erraten, dann mach
> einen Potenzreihenansatz für f :
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm]  und verfahre genauso,
> wie du im Fall n=2 vorgegangen bist. Du kannst die [mm]a_n[/mm]
> dadurch bestimmen und erhälst eine Folge, die du
> wahrscheinlich kennst und somit einen geläufigen Ausdruck
> für f(x).

Wie kommst du auf [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n [/mm]

>  viertens : wenn das alles nichts wird, frag noch mal nach,
> dann verrat ich's dir.

Vielen Dank für deine Hilfe!!

Bezug
                                        
Bezug
Basis von Fix(F): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Do 06.02.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wie kommst du auf [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm]

Erfahrung ;-)

Aber machen wir es vorher mal anders. Formulieren wir die Suche nach dem Fixpunkt noch mal in Worten: Du suchst eine Funktion, deren Ableitung wieder die Funktion selbst ist. Welche Funktionen kennst du denn, die abgeleitet wieder sich selbst ergeben??

Gruß,
Gono.

Bezug
                                                
Bezug
Basis von Fix(F): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Do 06.02.2014
Autor: Babybel73

Hallo,

ja [mm] e^x! [/mm] Dann ist das die Basis?



Bezug
                                                        
Bezug
Basis von Fix(F): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Do 06.02.2014
Autor: Sax

Hi,

ja genau ! (Zweite Möglichkeit hat also funktioniert)

Dass es keine dazu linear unabhängigen weiteren Funktionen gibt, die ebenfalls die Eigenschaft $ f'=f $ haben, wird in einer Analysis-Vorlesung über "Lineare Differentialgleichungen Erster Ordnung" bewiesen. Funktionen der Form [mm] f(x)=c*e^x [/mm] sind die einzigen, die passen. [mm] \{e^x\} [/mm] ist also die (genauer: eine mögliche) gesuchte Basis.

Gruß Sax.

Bezug
                                                        
Bezug
Basis von Fix(F): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:56 Fr 07.02.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ja [mm]e^x![/mm] Dann ist das die Basis?

Ja, das wurde von Sax ja schon bestätigt. Auch ohne eine Vorlesung über Differentialglichungen kann man das so sehen:

Ist f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft $f'=f$ auf [mm] \IR, [/mm] so setze

   [mm] g(x)=\bruch{f(x)}{e^x}. [/mm]

zeige: $g'=0$ auf [mm] \IR. [/mm] Damit ist g auf [mm] \IR [/mm] konstant.

FRED

>
>  


Bezug
                                
Bezug
Basis von Fix(F): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:34 Fr 07.02.2014
Autor: fred97


> Hi,
>  
> bei c) gibst es vier Möglichkeiten :
>  
> erstens : du kennst die Lösung, dann schreib sie hin.
>  zweitens : du kennst sie nicht, aber kannst sie erraten,
> dann schreib sie hin.
>  drittens : du kannst sie nicht mal erraten, dann mach
> einen Potenzreihenansatz für f :
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm]



Ich gebe zu bedenken: es gibt genügend Funktionen, die auf [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar sind, sich aber nicht in eine Potenzreihe entwickeln lassen !

FRED



>  und verfahre genauso,
> wie du im Fall n=2 vorgegangen bist. Du kannst die [mm]a_n[/mm]
> dadurch bestimmen und erhälst eine Folge, die du
> wahrscheinlich kennst und somit einen geläufigen Ausdruck
> für f(x).
>  viertens : wenn das alles nichts wird, frag noch mal nach,
> dann verrat ich's dir.
>  
> Gruß Sax


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]