matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenBasis von Bild und Kern
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Abbildungen" - Basis von Bild und Kern
Basis von Bild und Kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Basis von Bild und Kern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Di 16.12.2008
Autor: Palisaden-Honko

Aufgabe
Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 0 & 6 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & 1 } [/mm]
Bestimmen Sie den Rang von A und Basen des Bildes und des Kerns der durch A beschriebenen lin. Abb.

Hallo!
Durch Umformen habe ich die Matrix auf 2 linear unabhängige Zeilenvektoren reduziert:

[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 }, [/mm]

was nach meinem Verständnis das Bild der lin. Abbildung ist. Da die beiden Zeilenvektoren linear unabhängig sind, kann man außerdem den Rang der Matrix (=2) ablesen.

Dann hab ich den Kern [mm] \overrightarrow{x} [/mm] der Abb. bestimmt, indem ich [mm] A*\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0} [/mm] gelöst hab, wobei drei Variablen frei wählbar sind:

[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{6s-3t+eu \\ -3s+t-2u \\ s \\ t \\ u} [/mm]

Mein Problem sind jetzt die Basen (ich versteh die Aufgabe so, dass ich für Kern und Bild je eine bestimmen soll). Beim Bild kann ich die Spaltenvektoren auf 2 linear unabhängige reduzieren:
[mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 2}. [/mm]
Das ist doch dann schon eine Basis des Bilds, oder?
Muss ich den Kern dann als Matrixprodukt umschreiben? Das sähe dann so aus: [mm] \pmat{ 6 & -3 & 3 \\ -3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\vektor{s \\ t \\ u} [/mm]
Und dann? Ich brauche doch eigentlich 5 Vektoren mit je 5 Elementen, um eine Basis zu bekommen!?


        
Bezug
Basis von Bild und Kern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Di 16.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 0 & 6 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
>  
> Bestimmen Sie den Rang von A und Basen des Bildes und des
> Kerns der durch A beschriebenen lin. Abb.
>  Hallo!
>  Durch Umformen habe ich die Matrix auf 2 linear
> unabhängige Zeilenvektoren reduziert:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 },[/mm]
>
> was nach meinem Verständnis das Bild der lin. Abbildung
> ist. Da die beiden Zeilenvektoren linear unabhängig sind,
> kann man außerdem den Rang der Matrix (=2) ablesen.

Hallo,

nachgerechnet habe ich nichts, ich gehe davon aus, daß es so richtig ist.

Der Rang der Matrix ist =2, also hat das Bild die Dimension 2.

Das Bild kannst Du an der ZSF nicht direkt ablesen, aber Du kannst ablesen, welche der Startvektoren eine Basis des Bildes sind:

in der ZSF hast Du die führenden Element der Nichtnullzeilen in der 1. und 2.Spalte, also sind der 1. und 2. der ursprünglichen (!) Spaltenvektoren eine basis des Bildes.


> Dann hab ich den Kern [mm]\overrightarrow{x}[/mm] der Abb. bestimmt,
> indem ich [mm]A*\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}[/mm] gelöst
> hab, wobei drei Variablen frei wählbar sind:
>  
> [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{6s-3t+u \\ -3s+t-2u \\ s \\ t \\ u}[/mm]

Ich gehe davon aus, daß Du auch hier richtig gerechnet hast.

Es hat jeder Vektor des kerns die Gestalt

[mm] \overrightarrow{x}=s\vektor{6 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\1 \\ 0}+u\vektor{1 \\ -2 \\ 0\\ 0 \\ 1}. [/mm]

Diese drei Vektoren  bilden eine Basis des Kerns.

I


>  
> Mein Problem sind jetzt die Basen (ich versteh die Aufgabe
> so, dass ich für Kern und Bild je eine bestimmen soll).
> Beim Bild kann ich die Spaltenvektoren auf 2 linear
> unabhängige reduzieren:
> [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ 2}.[/mm]

Ich hatte das oben jja erklärt. Das, was Du hier tust, ist aber großer Quatsch, denn Deine Abbildung geht ja in den [mm] \IR^3, [/mm] und schon deshalb können diese beiden Vektörchen keine Basis des Bildes sein.

> Und dann? Ich brauche doch eigentlich 5 Vektoren mit je 5
> Elementen, um eine Basis zu bekommen!?

Kommt drauf an, wovon. Für 'ne basis des [mm] \IR^5 [/mm] brauchst Du das. Aber hier geht's doch um kern und Bild.

Gruß v. Angela

>  


Bezug
                
Bezug
Basis von Bild und Kern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:10 Di 16.12.2008
Autor: Palisaden-Honko

Das hat geholfen... Danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]