Basis von Bild einer Abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei die Abbildung f: [mm] {\IC}^{3} \to {\IC}^{3} [/mm] durch
[mm] f(e_{1}):=e_{1}+2e_{2}+3e_{3}
[/mm]
[mm] f(e_{2}):=4e_{1}+e_{2}+4e_{3}
[/mm]
[mm] f(e_{3}):=6e_{1}+5e_{2}+10e_{3}
[/mm]
definiert, wobei [mm] (e_{1}, e_{2}, e_{2}) [/mm] die kanonische Basis von [mm] {\IC}^{3} [/mm] ist. Bestimmen Sie eine Basis von Bild(f). |
Diese Aufgabe habe ich gemacht, aber jetzt bin ich nicht ganz sicher, ob alles stimmt.
Zuerst habe ich Funktionenwerte bestimmt: [mm] f(e_{1})=(1, [/mm] 2, 3), [mm] f(e_{2})=(4, [/mm] 1, 4) und [mm] f(e_{3})=(6, [/mm] 5, 10).
Danach habe ich diese Vektoren auf lineare Unabhängigkeit geprüft. Nur zwei davon lin. unabhängig sind, nähmlich a:=(1, 2, 3) und b:=(0, -7, -8).
D.h., dass diese Vektoren eine Basis von Bild(f) sind.
Jetzt zweifle ich aber daran, ob ich "die kanonische Basis von [mm] {\IC}^{3}" [/mm] richtig verstanden habe.
Und zweite Frage: ist meine Basis richtig, oder muss es so aussehen: (a, a*i, b, b*i)?
Ich werde für Ihre Mitteilungen dankbar! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei die Abbildung f: [mm]{\IC}^{3} \to {\IC}^{3}[/mm] durch
> [mm]f(e_{1}):=e_{1}+2e_{2}+3e_{3}[/mm]
> [mm]f(e_{2}):=4e_{1}+e_{2}+4e_{3}[/mm]
> [mm]f(e_{3}):=6e_{1}+5e_{2}+10e_{3}[/mm]
> definiert, wobei [mm](e_{1}, e_{2}, e_{2})[/mm] die kanonische
> Basis von [mm]{\IC}^{3}[/mm] ist. Bestimmen Sie eine Basis von
> Bild(f).
> Diese Aufgabe habe ich gemacht, aber jetzt bin ich nicht
> ganz sicher, ob alles stimmt.
>
> Zuerst habe ich Funktionenwerte bestimmt: [mm]f(e_{1})=(1,[/mm] 2,
> 3), [mm]f(e_{2})=(4,[/mm] 1, 4) und [mm]f(e_{3})=(6,[/mm] 5, 10).
Hallo,
diese drei Vektoren spannen das Bild auf, sind also ein Erzeugendensystem des Bildes.
> Danach habe ich diese Vektoren auf lineare Unabhängigkeit
> geprüft.
Die drei Vektoren sind linear abhängig.
> Nur zwei davon lin. unabhängig sind, nähmlich
und eine Basis des Bildes ist z.B.
> a:=(1, 2, 3) und b:=(0, -7, -8).
Die hast Du sicher über die ZSF bestimmt, das ist okay.
> D.h., dass diese Vektoren eine Basis von Bild(f) sind.
Ja.
Du hättest auch [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] und [mm] \vektor{4\\1\\4} [/mm] nehmen können, oder noch andere.
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> Jetzt zweifle ich aber daran, ob ich "die kanonische Basis
> von [mm]{\IC}^{3}"[/mm] richtig verstanden habe.
Du hast es richtig verstanden.
> Und zweite Frage: ist meine Basis richtig, oder muss es so
> aussehen: (a, a*i, b, b*i)?
Das Bild ist ein Unterraum des dreidimensionalen VR [mm] \IC^3, [/mm] schon deshalb kann die Basis nicht aus 4 Vektoren bestehen.
Und a und a*i (bzw. richtig: i*a) sind linear abhängig. i*a ist ja ledigleich ein Vielfaches von a. (Im [mm] \IC^3 [/mm] über [mm] \IC [/mm] sind die Skalare aus [mm] \IC.)
[/mm]
Würde hier der [mm] \IC^3 [/mm] als VR über [mm] \IR [/mm] betrachtet werden, also als 6-dimensionaler Raum, würde das dabei stehen. Dann hätte man ja auch eine andere Basis als [mm] (e_1, e_2, e_3).
[/mm]
LG Angela
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> Ich werde für Ihre Mitteilungen dankbar! Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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