Basis von 4 2x2 Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \pmat{1 & 2 \\ 0 & 0 }, \pmat{-1 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{0 & 1 \\ 0 & 2 }, \pmat{0 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] eine Basis von [mm] \IQ^{2x2} [/mm] ist |
Hallo.
Wir haben bisher nur Basen von 1-spaltigen Vektoren berechnet, aber wie das bei diesen 2x2 Matrizen funktioniert, weiß ich leider nicht.
Kann mir wer einen Typ geben, wie ich dieses Problem angehe?
Vielen Dank
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Hallo mathe-antifreak,
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\pmat{1 & 2 \\ 0 & 0 }, \pmat{-1 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{0 & 1 \\ 0 & 2 }, \pmat{0 & 0 \\ 1 & 1 }[/mm]
> eine Basis von [mm]\IQ^{2x2}[/mm] ist
> Hallo.
> Wir haben bisher nur Basen von 1-spaltigen Vektoren
> berechnet, aber wie das bei diesen 2x2 Matrizen
> funktioniert, weiß ich leider nicht.
> Kann mir wer einen Typ geben, wie ich dieses Problem
> angehe?
Nun, die 4 Matrizen müssen linear unabhängig sein, d.h.
[mm]a*\pmat{1 & 2 \\ 0 & 0 }+b*\pmat{-1 & 0 \\ 1 & 0 }+c*\pmat{0 & 1 \\ 0 & 2 }+d* \pmat{0 & 0 \\ 1 & 1 }=\pmat{0 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
nur für a=b=c=d=0.
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower
> Hallo mathe-antifreak,
> Nun, die 4 Matrizen müssen linear unabhängig sein, d.h.
>
> [mm]a*\pmat{1 & 2 \\ 0 & 0 }+b*\pmat{-1 & 0 \\ 1 & 0 }+c*\pmat{0 & 1 \\ 0 & 2 }+d* \pmat{0 & 0 \\ 1 & 1 }=\pmat{0 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> nur für a=b=c=d=0.
Genau das habe ich mir gedacht, aber ich war mir nicht ganz sicher, ob das stimmt.
Kann ich allgemein davon ausgehen, dass wenn ein Vektortupel linear unabhängig ist, dieses Vektortupel auch eine Basis ist?
> Gruss
> MathePower
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> Kann ich allgemein davon ausgehen, dass wenn ein
> Vektortupel linear unabhängig ist, dieses Vektortupel auch
> eine Basis ist?
Hallo,
ja, es ist eine Basis des von ihm aufgespannten Raumes.
LG Angela
>
> > Gruss
> > MathePower
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