Basis vom Durchschnitt < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 10.01.2012 | | Autor: | fab42 |
| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum [mm] (\IF_{5})^{5}. [/mm] Sei
[mm] U_{1} [/mm] := [mm] span[\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3},\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0},\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}]
[/mm]
und
[mm] U_{2} [/mm] := [mm] span[\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2},\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1},\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}]
[/mm]
Berechne eine Basis von [mm] U_{1} \cap U_{2}. [/mm] |
Hallo,
Sei x [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] , dann kann man x wie folgt darstellen:
mit a,b,c,d,e,f,g [mm] \in \IF_{5}
[/mm]
[mm] x=a\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+c\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+d\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}=e\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+f\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}+g\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
oder
[mm] 0=a\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+c\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+d\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}-e\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}-f\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}-g\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Das ergibt dann diese Matrix mit Einträgen aus [mm] \IF_{5}:
[/mm]
[mm] \pmat{ 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 4 & 1 \\ 4 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 2 & 3 & 4 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 3 }
[/mm]
diese habe ich dann zunächst in Zeilenstufenform gebracht:
[mm] \pmat{ 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & 4 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 }
[/mm]
An dieser Stelle komme ich nicht so recht weiter, meine Frage ist:
Wie kann ich das homogenes Gleichungssystem am besten lösen und wie kann ich dann eine Basis von [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] bestimmen? Ist mein Ansatz überhaupt richtig?
Gruß
fab
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> Wir betrachten den Vektorraum [mm](\IF_{5})^{5}.[/mm] Sei
> [mm]U_{1}[/mm] := [mm]span[\vektor{2 \\
4 \\
4 \\
1 \\
3},\vektor{4 \\
1 \\
0 \\
3 \\
0},\vektor{1 \\
4 \\
3 \\
1 \\
2}][/mm]
>
> und
> [mm]U_{2}[/mm] := [mm]span[\vektor{3 \\
1 \\
4 \\
1 \\
1},\vektor{2 \\
3 \\
0 \\
4 \\
2},\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
2 \\
1},\vektor{3 \\
3 \\
3 \\
3 \\
1}][/mm]
>
> Berechne eine Basis von [mm]U_{1} \cap U_{2}.[/mm]
> Hallo,
> Sei x [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] , dann kann man x wie folgt
> darstellen:
> mit a,b,c,d,e,f,g [mm]\in \IF_{5}[/mm]
> [mm]x=a\vektor{3 \\
1 \\
4 \\
1 \\
1}+b\vektor{2 \\
3 \\
0 \\
4 \\
2}+c\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
2 \\
1}+d\vektor{3 \\
3 \\
3 \\
3 \\
1}=e\vektor{2 \\
4 \\
4 \\
1 \\
3}+f\vektor{4 \\
1 \\
0 \\
3 \\
0}+g\vektor{1 \\
4 \\
3 \\
1 \\
2}[/mm]
>
> oder
> [mm]0=a\vektor{3 \\
1 \\
4 \\
1 \\
1}+b\vektor{2 \\
3 \\
0 \\
4 \\
2}+c\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
2 \\
1}+d\vektor{3 \\
3 \\
3 \\
3 \\
1}-e\vektor{2 \\
4 \\
4 \\
1 \\
3}-f\vektor{4 \\
1 \\
0 \\
3 \\
0}-g\vektor{1 \\
4 \\
3 \\
1 \\
2}[/mm]
>
> Das ergibt dann diese Matrix mit Einträgen aus [mm]\IF_{5}:[/mm]
> [mm]\pmat{ 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 1 & 4 \\
1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 4 & 1 \\
4 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 \\
1 & 4 & 2 & 3 & 4 & 2 & 4 \\
1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 3 }[/mm]
>
> diese habe ich dann zunächst in Zeilenstufenform
> gebracht:
> [mm]\pmat{ 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 1 & 4 \\
0 & 3 & 3 & 4 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 2 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 }[/mm]
>
> An dieser Stelle komme ich nicht so recht weiter, meine
> Frage ist:
> Wie kann ich das homogenes Gleichungssystem am besten
> lösen
Hallo,
Dein Ansatz ist richtig, ob jede zahl stimmt, habe ich nicht nachgerechnet.
Zur Lösung:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1,2,3,4,5, und Du kannst die 6. und 7. Variable, also f und g frei wählen.
Mit f=s und g=t
erhältst Du aus der letzten Zeile
2e=-2f-2e=3f+3e=3s+3t
Multiplikation mit dem Inversen von 2, also mit 3, ergibt
e=4s+4t,
aus der vorletzten ... usw.
So kannst Du nach und nach die anderen 5 Variablen in Abhängigkeit von s unt t darstellen und schonmal den Lösungsraum des LGS aufschreiben.
Bei der Interpretation kann dann später jemand weiterhelfen, es ist besser, das am Beispiel zu klären als ins Blaue hinein.
LG Angela
> und wie kann ich dann eine Basis von [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> bestimmen? Ist mein Ansatz überhaupt richtig?
>
> Gruß
> fab
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 10.01.2012 | | Autor: | fab42 |
Okay, vielen dank
3d=-3s-2t=2s+3t [mm] \Rightarrow [/mm] d=4s+t
...
Ich komme so auf den Lösungsraum:
[mm] \vektor{2t \\ t \\ 3t \\ 4s+t \\ 4s+4t \\ s \\ t}
[/mm]
warum hast du t und s gewählt statt f und g?
kann ich daraus folgern das die dim [mm] (U_{1} \cap U_{2})= [/mm] 2 ist?
gruß
fab
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> Okay, vielen dank
> 3d=-3s-2t=2s+3t [mm]\Rightarrow[/mm] d=4s+t
> ...
>
> Ich komme so auf den Lösungsraum:
Hallo,
die Zahlen prüfe ich nicht nach.
Du hast jetzt gefunden: alle Vektoren [mm] \vektor{a\\b\\c\\d\\e\\f\\g}, [/mm] die das System lösen, sind von der Gestalt
>
[mm] >\vektor{a\\b\\c\\d\\e\\f\\g}=[/mm] [mm]\vektor{2t \\
t \\
3t \\
4s+t \\
4s+4t \\
s \\
t}[/mm]
[mm] =s*\vektor{0\\0\\0\\4\\4\\1\\0}+t*\vektor{2\\1\\3\\1\\4\\0\\1}
[/mm]
Den Lösungsraum könntest Du z.B. schreiben als
[mm] L=\{\vektor{2t \\ t \\ 3t \\ 4s+t \\ 4s+4t \\ s \\ t}| s,t\in \IR\}, [/mm] oder auch
[mm] L=<\vektor{0\\0\\0\\4\\4\\1\\0},\vektor{2\\1\\3\\1\\4\\0\\1}>, [/mm]
die spitzen Klammern stehen für die lineare Hülle/Erzeugnis/span.
So, eigentlich aber wolltest Du den Durchschnitt von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] wissen, und daß die Lösungsmenge nicht der gesuchte Durchschnitt ist, sieht man ja schon daran, daß sie eine Teilmenge des [mm] F_5^7 [/mm] ist und nicht des [mm] F_5^5.
[/mm]
Du hattest zuvor festgestellt, daß im Schnitt die Vektoren x liegen, für welche
$ [mm] x=a\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+c\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+d\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}=e\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+f\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}+g\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2} [/mm] $
gilt, und nun hast Du ausgerechnet, daß dies der Fall ist, sofern Du
a=2t
b=t
c=3t
d=4s+t
wählst,
bzw.
e=4s+4t
f=s
g=t.
Wenn Du das einsetzt, siehst Du, wie die Vektoren des Schnittes aussehen und kannst eine Basis angeben.
> warum hast du t und s gewählt statt f und g?
Ich hätte genauso alles in Abhängigkeit von g und f schreiben können und keine neuen Parameter einführen müssen.
> kann ich daraus folgern das die dim [mm](U_{1} \cap U_{2})=[/mm] 2
> ist?
Ja.
Und eine Basis solltest Du nun mit den Hinweisen bestimmen können.
LG Angela
>
> gruß
> fab
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 10.01.2012 | | Autor: | fab42 |
Dann kann man also die Elemente x [mm] \in U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
durch:
[mm] x=(4s+t)\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+s\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}+t\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
darstellen.
Jetzt wähle ich s=1 sowie t=0:
[mm] 4\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}=\vektor{3 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \\ 2}+\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
wähle nun s=0 und t=1:
[mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}=\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
Dann ist die gesuchte Basis [mm] B=<\vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 2},\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 0}>
[/mm]
Hab ich das so richtig gemacht?
vielen Dank für deine Mühe!
gruß
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> Dann kann man also die Elemente x [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm]
>
> durch:
> [mm]x=(4s+t)\vektor{2 \\
4 \\
4 \\
1 \\
3}+s\vektor{4 \\
1 \\
0 \\
3 \\
0}+t\vektor{1 \\
4 \\
3 \\
1 \\
2}[/mm]
>
> darstellen.
>
> Jetzt wähle ich s=1 sowie t=0:
> [mm]4\vektor{2 \\
4 \\
4 \\
1 \\
3}+\vektor{4 \\
1 \\
0 \\
3 \\
0}=\vektor{3 \\
1 \\
1 \\
4 \\
2}+\vektor{4 \\
1 \\
0 \\
3 \\
0}=\vektor{2 \\
2 \\
1 \\
2 \\
2}[/mm]
>
> wähle nun s=0 und t=1:
> [mm]\vektor{2 \\
4 \\
4 \\
1 \\
3}+\vektor{1 \\
4 \\
3 \\
1 \\
2}=\vektor{3 \\
3 \\
2 \\
2 \\
0}[/mm]
>
> Dann ist die gesuchte Basis [mm]B=<\vektor{2 \\
2 \\
1 \\
2 \\
2},\vektor{3 \\
3 \\
2 \\
2 \\
0}>[/mm]
Hallo,
ja, so kannst Du es machen.
LG Angela
>
> Hab ich das so richtig gemacht?
> vielen Dank für deine Mühe!
>
> gruß
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