Basis vom Dualraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:26 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
| Aufgabe | Betrachten Sie den Vektorraum [mm] V=K^{3} [/mm] über K und dessen Dualraum V*, und entscheiden Sie, ob die folgenden Systeme von Objekten jeweils eine Basis von V* bilden.
1) Die drei durch [mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] y, [mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] x-y und (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] x+y+z gegebenen Abbildungen von [mm] K^{3} [/mm] nach K.
2) Die drei durch [mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] (x,0,0), [mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] (0,y,0) und [mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] (0,0,z) gegebenen Abbildungen von [mm] K^{3} [/mm] nach K.
3) Die drei durch [mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] x, [mm] (x,y,z)\mapsto y^{2}und (x,y,z)\mapsto -z^{2} [/mm] gegebenen Abbildungen von [mm] K^{3} [/mm] nach K.
4) Die drei durch [mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] x+y, [mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] y+z und (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] x-z gegeben Abbildungen von [mm] K^{3} [/mm] nach K.
5) Ein beliebiges System [mm] f_{1}, f_{2}, f_{3} [/mm] dreier Abbildungen von [mm] K^{3} [/mm] nach K, das den neun Bedingungen [mm] f_{1}(1,0,0)=f_{2}(1,1,0)=f_{3}(1,1,1)=1, f_{2}(1,0,0)=f_{3}(1,1,0)=f_{1}(1,1,1)=0 [/mm] und [mm] f_{3}(1,0,0)=f_{1}(1,1,0)=f_{2}(1,1,1)=0 [/mm] genügt |
Hallo
kann mir jemand sagen wie ich diese Aufgabe lösen muss...ich weiß echt nicht voran ich erkennen soll pb die Lösungsvorschläge eine Basis des Dualraumes sind...
LG Schmetterfee
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> Betrachten Sie den Vektorraum [mm]V=K^{3}[/mm] über K und dessen
> Dualraum V*, und entscheiden Sie, ob die folgenden Systeme
> von Objekten jeweils eine Basis von V* bilden.
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> 1) Die drei durch [mm](x,y,z)\mapsto[/mm] y, [mm](x,y)\mapsto[/mm] x-y und
> (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] x+y+z gegebenen Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach
> K.
Hallo,
bitte etwas Eigeninitiative.
Wie ist der Dualraum eines Vektorraumes definiert?
Was hast Du bisher versucht in Sachen Basis? Was würdest Du gerne herausfinden?
Wo genau (!) liegen Deine Probleme?
Gruß v. Angela
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> > Betrachten Sie den Vektorraum [mm]V=K^{3}[/mm] über K und dessen
> > Dualraum V*, und entscheiden Sie, ob die folgenden Systeme
> > von Objekten jeweils eine Basis von V* bilden.
> >
> > 1) Die drei durch [mm](x,y,z)\mapsto[/mm] y, [mm](x,y)\mapsto[/mm] x-y und
> > (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] x+y+z gegebenen Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach
> > K.
>
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> Hallo,
>
> bitte etwas Eigeninitiative.
>
> Wie ist der Dualraum eines Vektorraumes definiert?
Naja die Definition eines Dualraumes ist ja klar:
Wenn V ein K-Vektorraum ist. Dann heißt der der K-Vektorraum [mm] Hom_{K} [/mm] (V,K) aller Linearformen auf V der Dualraum zu V und wird mit V* bezeichnet.
Davei werden K-lineare Abbildungen von V [mm] \to [/mm] K als Linearformen bezeichnet.
> Was hast Du bisher versucht in Sachen Basis? Was würdest
> Du gerne herausfinden?
mein Problem ist, dass ich nicht weiß wo ran ich erkenn ob eine dieser Vorschläge eine Basis des Dualraumes ist weil ich nicht weiß wie die Basis aussehen muss damit sie in unserem Fall den ganzen Dualraum erzeugt.
das deprimiert mich sehr, weil ich glaubd as is eine vond en Aufgaben die viel Vorstellungskraft benötigen oder?
LG Schmetterfee
> Wo genau (!) liegen Deine Probleme?
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
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> > > Betrachten Sie den Vektorraum [mm]V=K^{3}[/mm] über K und dessen
> > > Dualraum V*, und entscheiden Sie, ob die folgenden Systeme
> > > von Objekten jeweils eine Basis von V* bilden.
> > >
> > > 1) Die drei durch [mm](x,y,z)\mapsto[/mm] y, [mm](x,y)\mapsto[/mm] x-y und
> > > (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] x+y+z gegebenen Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach
> > > K.
> > Wie ist der Dualraum eines Vektorraumes definiert?
> Naja die Definition eines Dualraumes ist ja klar:
> Wenn V ein K-Vektorraum ist. Dann heißt der der
> K-Vektorraum [mm]Hom_{K}[/mm] (V,K) aller Linearformen auf V der
> Dualraum zu V und wird mit V* bezeichnet.
> Davei werden K-lineare Abbildungen von V [mm]\to[/mm] K als
> Linearformen bezeichnet.
>
Hallo,
ja.
Die Vektoren des Dualraumes sind also Linearformen, gewisse lineare Abbildungen.
> > Was hast Du bisher versucht in Sachen Basis? Was würdest
> > Du gerne herausfinden?
> mein Problem ist, dass ich nicht weiß wo ran ich erkenn
> ob eine dieser Vorschläge eine Basis des Dualraumes ist
> weil ich nicht weiß wie die Basis aussehen muss damit sie
> in unserem Fall den ganzen Dualraum erzeugt.
> das deprimiert mich sehr, weil ich glaubd as is eine vond
> en Aufgaben die viel Vorstellungskraft benötigen oder?
Eher nicht.
Man braucht die einschlägigen Sätze und Definitionen.
Welche Dimension hat der Dualraum zum [mm] K^3?
[/mm]
Von welcher Art sind die Elemente der Basis des [mm] (K^3)^{\*}? [/mm] (Zahlen, Spaltenvektoren, Türklinken oder ??? )
Es sei [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] eine Basis des [mm] K^3.
[/mm]
Kannst Du eine Basis des [mm] (K^3)^{\*} [/mm] nennen? (Skript!)
Gruß v. Angela
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> > > > Betrachten Sie den Vektorraum [mm]V=K^{3}[/mm] über K und dessen
> > > > Dualraum V*, und entscheiden Sie, ob die folgenden Systeme
> > > > von Objekten jeweils eine Basis von V* bilden.
> > > >
> > > > 1) Die drei durch [mm](x,y,z)\mapsto[/mm] y, [mm](x,y)\mapsto[/mm] x-y und
> > > > (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] x+y+z gegebenen Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach
> > > > K.
>
> > > Wie ist der Dualraum eines Vektorraumes definiert?
> > Naja die Definition eines Dualraumes ist ja klar:
> > Wenn V ein K-Vektorraum ist. Dann heißt der der
> > K-Vektorraum [mm]Hom_{K}[/mm] (V,K) aller Linearformen auf V der
> > Dualraum zu V und wird mit V* bezeichnet.
> > Davei werden K-lineare Abbildungen von V [mm]\to[/mm] K als
> > Linearformen bezeichnet.
> >
>
> Hallo,
>
> ja.
>
> Die Vektoren des Dualraumes sind also Linearformen, gewisse
> lineare Abbildungen.
>
>
> Welche Dimension hat der Dualraum zum [mm]K^3?[/mm]
> Von welcher Art sind die Elemente der Basis des
> [mm](K^3)^{\*}?[/mm] (Zahlen, Spaltenvektoren, Türklinken oder ???
> )
wenn wir von einem endlich dimensionalen Vektorraum ausgehen dann ist die Dimension von unserem Dualraum die gleiche wie von [mm] K^{3} [/mm]
na die Basis besteht doch einfach aus Vektoren die den ganzen Dualraum erzeugen doer nicht?
> Es sei [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis des [mm]K^3.[/mm]
> Kannst Du eine Basis des [mm](K^3)^{\*}[/mm] nennen? (Skript!)
ist das nicht einfach [mm] (e_1, e_2, e_3)\*
[/mm]
[mm] K^{3} \to [/mm] K ?
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
>
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> > > > > Betrachten Sie den Vektorraum [mm]V=K^{3}[/mm] über K und dessen
> > > > > Dualraum V*, und entscheiden Sie, ob die folgenden Systeme
> > > > > von Objekten jeweils eine Basis von V* bilden.
> > > > >
> > > > > 1) Die drei durch [mm](x,y,z)\mapsto[/mm] y, [mm](x,y)\mapsto[/mm] x-y und
> > > > > (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] x+y+z gegebenen Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach
> > > > > K.
> >
> > > > Wie ist der Dualraum eines Vektorraumes definiert?
> > > Naja die Definition eines Dualraumes ist ja klar:
> > > Wenn V ein K-Vektorraum ist. Dann heißt der der
> > > K-Vektorraum [mm]Hom_{K}[/mm] (V,K) aller Linearformen auf V der
> > > Dualraum zu V und wird mit V* bezeichnet.
> > > Davei werden K-lineare Abbildungen von V [mm]\to[/mm] K als
> > > Linearformen bezeichnet.
> > >
> >
> > Hallo,
> >
> > ja.
> >
> > Die Vektoren des Dualraumes sind also Linearformen, gewisse
> > lineare Abbildungen.
> >
> >
> > Welche Dimension hat der Dualraum zum [mm]K^3?[/mm]
> > Von welcher Art sind die Elemente der Basis des
> > [mm](K^3)^{\*}?[/mm] (Zahlen, Spaltenvektoren, Türklinken oder ???
> > )
>
> wenn wir von einem endlich dimensionalen Vektorraum
> ausgehen dann ist die Dimension von unserem Dualraum die
> gleiche wie von [mm]K^{3}[/mm]
Hallo,
ja. Also ist der Raum dreidimensional.
> na die Basis besteht doch einfach aus Vektoren die den
> ganzen Dualraum erzeugen doer nicht?
Klar. ich wollte eigentlich von Dir hören, daß die Basis aus Linearformen besteht, da unsere Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) in [mm] V^{\*} [/mm] Linearformen sind.
>
> > Es sei [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis des [mm]K^3.[/mm]
> > Kannst Du eine Basis des [mm](K^3)^{\*}[/mm] nennen? (Skript!)
> ist das nicht einfach [mm](e_1, e_2, e_3)\*[/mm]
> [mm]K^{3} \to[/mm] K ?
Da kann ich mir nichts drunter vorstellen . Dein [mm] (e_1, e_2, e_3)^{\*} [/mm] ist ja erstmal einfach eine Bezeichnung für irgendwas.
Ich will die drei Elemente dieser Basis sehen! Auch hierzu teilt Dein Skript etwas mit.
Gruß v. Angela
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> > > > > > Betrachten Sie den Vektorraum [mm]V=K^{3}[/mm] über K und dessen
> > > > > > Dualraum V*, und entscheiden Sie, ob die folgenden Systeme
> > > > > > von Objekten jeweils eine Basis von V* bilden.
> > > > > >
> > > > > > 1) Die drei durch [mm](x,y,z)\mapsto[/mm] y, [mm](x,y)\mapsto[/mm] x-y und
> > > > > > (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] x+y+z gegebenen Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach
> > > > > > K.
> > >
> > > > > Wie ist der Dualraum eines Vektorraumes definiert?
> > > > Naja die Definition eines Dualraumes ist ja
> klar:
> > > > Wenn V ein K-Vektorraum ist. Dann heißt der der
> > > > K-Vektorraum [mm]Hom_{K}[/mm] (V,K) aller Linearformen auf V der
> > > > Dualraum zu V und wird mit V* bezeichnet.
> > > > Davei werden K-lineare Abbildungen von V [mm]\to[/mm] K
> als
> > > > Linearformen bezeichnet.
> > > >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja.
> > >
> > > Die Vektoren des Dualraumes sind also Linearformen, gewisse
> > > lineare Abbildungen.
> > >
> > >
> > > Welche Dimension hat der Dualraum zum [mm]K^3?[/mm]
> > > Von welcher Art sind die Elemente der Basis des
> > > [mm](K^3)^{\*}?[/mm] (Zahlen, Spaltenvektoren, Türklinken oder ???
> > > )
> >
> > wenn wir von einem endlich dimensionalen Vektorraum
> > ausgehen dann ist die Dimension von unserem Dualraum die
> > gleiche wie von [mm]K^{3}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ja. Also ist der Raum dreidimensional.
>
> > na die Basis besteht doch einfach aus Vektoren die den
> > ganzen Dualraum erzeugen doer nicht?
>
> Klar. ich wollte eigentlich von Dir hören, daß die Basis
> aus Linearformen besteht, da unsere Vektoren (=Elemente des
> Vektorraumes) in [mm]V^{\*}[/mm] Linearformen sind.
>
> >
> > > Es sei [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis des [mm]K^3.[/mm]
> > > Kannst Du eine Basis des [mm](K^3)^{\*}[/mm] nennen?
> (Skript!)
> > ist das nicht einfach [mm](e_1, e_2, e_3)\*[/mm]
> > [mm]K^{3} \to[/mm]
> K ?
>
> Da kann ich mir nichts drunter vorstellen . Dein [mm](e_1, e_2, e_3)^{\*}[/mm]
> ist ja erstmal einfach eine Bezeichnung für irgendwas.
>
> Ich will die drei Elemente dieser Basis sehen! Auch hierzu
> teilt Dein Skript etwas mit.
In meinem Skript steht nur
[mm] K^{3} \to [/mm] K , [mm] (\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \to \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha_{i}
[/mm]
wobei die [mm] \lambda_{i} [/mm] in unsrem [mm] Fall=(e_1, e_2, e_3) [/mm] sind oder?
mehr steht dazu bei mir nicht oder gibts da nochw as anderes?
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
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> > Klar. ich wollte eigentlich von Dir hören, daß die Basis
> > aus Linearformen besteht, da unsere Vektoren (=Elemente des
> > Vektorraumes) in [mm]V^{\*}[/mm] Linearformen sind.
> >
> > >
> > > > Es sei [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis des [mm]K^3.[/mm]
> > > > Kannst Du eine Basis des [mm](K^3)^{\*}[/mm] nennen?
> > (Skript!)
> > > ist das nicht einfach [mm](e_1, e_2, e_3)\*[/mm]
> > >
> [mm]K^{3} \to[/mm]
> > K ?
> >
> > Da kann ich mir nichts drunter vorstellen . Dein [mm](e_1, e_2, e_3)^{\*}[/mm]
> > ist ja erstmal einfach eine Bezeichnung für irgendwas.
> >
> > Ich will die drei Elemente dieser Basis sehen! Auch hierzu
> > teilt Dein Skript etwas mit.
> In meinem Skript steht nur
> [mm]K^{3} \to[/mm] K , [mm](\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \to \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha_{i}[/mm]
>
> wobei die [mm]\lambda_{i}[/mm] in unsrem [mm]Fall=(e_1, e_2, e_3)[/mm] sind
> oder?
> mehr steht dazu bei mir nicht oder gibts da nochw as
> anderes?
Hallo,
ich denke, daß in Deinem Skript noch einiges steht...
Du kannst nicht völlig zusammenhangslos eine (durchaus richtige Zeile) herausgreifen, ohne daß Dir die Bedeutung der Zeichen klar ist.
So kommst Du nicht auf einen grünen Zweig.
Im Skript wird gewiß erstmal erklärt, was der Dualraum ist,vielleicht gezeigt, wie Linearformen aussehen.
Und dann wird ziemlich schnell der Punkt duale Basis kommen, und für den interessiere ich mich und versuchte, ihn aus Dir herauszukitzeln.
Dort wird dies stehen, was ich jetzt für den Fall n=3 notiere:
Wenn [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] eine Basis vom [mm] K^3 [/mm] ist, dann ist [mm] (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) [/mm] eine Basis von [mm] (K^3)^{\*},
[/mm]
wobei [mm] \lambda_i: K^3\to [/mm] K mit [mm] \lambda_i(e_j):=\delta_i_j.
[/mm]
Das ist eine Stelle, an der viele stutzen.
Schauen wir uns an, was [mm] \lambda_1 [/mm] ist. Es ist eine lineare Abbildung aus dem [mm] K^3 [/mm] in den K.
Lineare Abbildungen sind durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt, und genau das wird in der obigen def. getan: es werden die Funktionswerte für [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] angegeben, nämlich
[mm] \lambda_1(e_1):=1, \lambda_1(e_2):=0, \lambda_1(e_3):=0.
[/mm]
Du solltest nun in der Lage sein, die anderen beiden Elemente [mm] \lambda_2, \lambda_3 [/mm] auch noch aufzuschreiben.
Danach wird dann vorgerechnet, daß Du mit diesen drei Elementen wirklich jede Linearform des [mm] (K^3)^{\*} [/mm] erzeugn kannst,
einen kleinen Ausschnitt davon hast Du oben gepostet.
Ebenso wird man Dir vorrechnen, daß die drei [mm] \lambda_i [/mm] linear unabhängig sind, womit dann gezeigt ist, daß sie eine Basis bilden.
Damit wissen wir dann auch, daß die Dim des Dualraumes gleich der des zugrundeliegenden Vektorraumes ist.
Du solltest das gründlich durcharbeiten.
Anschließend wird dann gezeigt, daß es zu jeder Basis des K eine duale Basis gibt und umgekehrt.
Um jetzt auf Deine Aufgabe zu kommen: es gibt hier mehrere Möglichkeiten, heranzugehen.
Ich schlage vor, daß Du es erstmal so versuchst:
1. jede Basis besteht aus Linearformen
2. jede Basis enthält drei Elemente
3. Die drei Elemente müssen linear unabhängig sein
Bei 1) - 4) solltest Du damit hinkommen, bei 5) wenden wir uns dann den dualen Basen zu.
Aber bis wir da sind, werden hier vermutlich 10.23m Thread entstanden sein...
Ich fahre allerdings gleich erstmal zu den Pferden, bin dann also mal weg.
Frohes Schaffen und
Gruß v. Angela
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Hallo!
Ich hoffe es ist okay, wenn ich mich mal einmische und meine Überlegungen dazu äußere.
Also,
1. Hier ist doch (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x-y garkeine Abbildung von [mm] K^3 \to [/mm] K
Und da die Basis aus 3 Abbildungen bestehen muss hier aber nur zwei
als solche Basiselemente 'verwendet' werden können, kann das doch
schon deshalb garkeine Basis sein, oder?
2. Hier ist eine Abbildung von [mm] K^3 \to K^3 [/mm] und es müssen doch
Abbildungen von [mm] K^3 \to [/mm] K sein, damit es eine Basis bilden kann.
Dies ist doch ebenfalls keine Basis, richtig?
3. Hier würde ich sagen, dass eine lineare Abhängigkeit vorhanden ist,
z.B. (1,1,0) [mm] \mapsto [/mm] 1 und (0,1,1) [mm] \mapsto 1^2=1
[/mm]
Dies ist meiner Meinung nach also ebenfalls keine Basis.
4. Ich würde wieder sagen, dass sie linear abhängig sind.
(1,1,0) [mm] \mapsto [/mm] 1+1=2 (0,1,1) [mm] \mapsto [/mm] 1+1=2
Sind meine Überlegungen richtig?
Danke!
MFG
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> Hallo!
> Ich hoffe es ist okay, wenn ich mich mal einmische und
> meine Überlegungen dazu äußere.
Hallo,
ja, so ist das Forum gedacht.
>
> Also,
> 1. Hier ist doch (x,y) [mm]\mapsto[/mm] x-y garkeine Abbildung von
> [mm]K^3 \to[/mm] K
> Und da die Basis aus 3 Abbildungen bestehen muss hier
> aber nur zwei
> als solche Basiselemente 'verwendet' werden können, kann
> das doch
> schon deshalb garkeine Basis sein, oder?
Hm. Das hatte ich gar nicht gesehen. So, wie es dasteht, ist es natürlich keine Basis. Könnt' natürlich sein, daß es ein Tippfehler ist...
Laß uns die Aufgabe mal abwandeln:
$ [mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] $ y, $ (x,y, [mm] z)\mapsto [/mm] $ x-y und (x,y,z) $ [mm] \mapsto [/mm] $ x+y+z.
Ich bin mir sogar sicher, daß sie so lauten sollte.
> 2. Hier ist eine Abbildung von [mm]K^3 \to K^3[/mm] und es müssen
> doch
> Abbildungen von [mm]K^3 \to[/mm] K sein, damit es eine Basis
> bilden kann.
> Dies ist doch ebenfalls keine Basis, richtig?
Richtig. Die haben sich natürlich etwas dabei gedacht? Weißt Du, auf welche Fährte man hier gelockt werden kann?
> 3. Hier würde ich sagen, dass eine lineare Abhängigkeit
> vorhanden ist,
> z.B. (1,1,0) [mm]\mapsto[/mm] 1 und (0,1,1) [mm]\mapsto 1^2=1[/mm]
> Dies
> ist meiner Meinung nach also ebenfalls keine Basis.
Daß zwei der Abbildungen auf einem Funktionswert übereinstimmen, heißt allein nicht, daß sie linear abhängig sind - wir kommen gleich noch darauf zurück.
Zwei der Funktionen fehlt aber eine wichtige Eigenschaft. Welche?
> 4. Ich würde wieder sagen, dass sie linear abhängig
> sind.
> (1,1,0) [mm]\mapsto[/mm] 1+1=2 (0,1,1) [mm]\mapsto[/mm] 1+1=2
So, hier gehen wir jetzt mal an die lineare Abhängigkeit.
Wir nennen die drei Funktionen jetzt mal [mm] \lambda_i, [/mm] i=1,2,3
Schreib mal auf, was für lineare Unabhängigkeit gelten muß, eventuell auch, wie Du dann weiterüberlegst.
Gruß v. Angela
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> > > Klar. ich wollte eigentlich von Dir hören, daß die Basis
> > > aus Linearformen besteht, da unsere Vektoren (=Elemente des
> > > Vektorraumes) in [mm]V^{\*}[/mm] Linearformen sind.
> > >
> > > >
> > > > > Es sei [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis des [mm]K^3.[/mm]
> > > > > Kannst Du eine Basis des [mm](K^3)^{\*}[/mm] nennen?
> > > (Skript!)
> > > > ist das nicht einfach [mm](e_1, e_2, e_3)\*[/mm]
> > > >
>
> > [mm]K^{3} \to[/mm]
> > > K ?
> > >
> > > Da kann ich mir nichts drunter vorstellen . Dein [mm](e_1, e_2, e_3)^{\*}[/mm]
> > > ist ja erstmal einfach eine Bezeichnung für irgendwas.
> > >
> > > Ich will die drei Elemente dieser Basis sehen! Auch hierzu
> > > teilt Dein Skript etwas mit.
> > In meinem Skript steht nur
> > [mm]K^{3} \to[/mm] K , [mm](\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \to \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha_{i}[/mm]
>
> >
> > wobei die [mm]\lambda_{i}[/mm] in unsrem [mm]Fall=(e_1, e_2, e_3)[/mm] sind
> > oder?
> > mehr steht dazu bei mir nicht oder gibts da nochw as
> > anderes?
>
> Hallo,
>
> ich denke, daß in Deinem Skript noch einiges steht...
>
> Du kannst nicht völlig zusammenhangslos eine (durchaus
> richtige Zeile) herausgreifen, ohne daß Dir die Bedeutung
> der Zeichen klar ist.
>
> So kommst Du nicht auf einen grünen Zweig.
>
> Im Skript wird gewiß erstmal erklärt, was der Dualraum
> ist,vielleicht gezeigt, wie Linearformen aussehen.
>
> Und dann wird ziemlich schnell der Punkt duale Basis
> kommen, und für den interessiere ich mich und versuchte,
> ihn aus Dir herauszukitzeln.
>
> Dort wird dies stehen, was ich jetzt für den Fall n=3
> notiere:
>
> Wenn [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis vom [mm]K^3[/mm] ist, dann ist
> [mm](\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)[/mm] eine Basis von
> [mm](K^3)^{\*},[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda_i: K^3\to[/mm] K mit [mm]\lambda_i(e_j):=\delta_i_j.[/mm]
>
> Das ist eine Stelle, an der viele stutzen.
>
> Schauen wir uns an, was [mm]\lambda_1[/mm] ist. Es ist eine lineare
> Abbildung aus dem [mm]K^3[/mm] in den K.
> Lineare Abbildungen sind durch Angabe ihrer Werte auf
> einer Basis eindeutig bestimmt, und genau das wird in der
> obigen def. getan: es werden die Funktionswerte für [mm]e_1, e_2, e_3[/mm]
> angegeben, nämlich
> [mm]\lambda_1(e_1):=1, \lambda_1(e_2):=0, \lambda_1(e_3):=0.[/mm]
>
> Du solltest nun in der Lage sein, die anderen beiden
> Elemente [mm]\lambda_2, \lambda_3[/mm] auch noch aufzuschreiben.
ja das kann ich glaub ich:)
[mm] \lambda_{2}(e_{1}):=0, \lambda_{2}(e_{2}):=1, \lambda_{2}(e_{3}):=0,
[/mm]
[mm] \lambda_{3}(e_{1}):=0, \lambda_{3}(e_{2}):=0, \lambda_{3}(e_{3}):=1
[/mm]
> Danach wird dann vorgerechnet, daß Du mit diesen drei
> Elementen wirklich jede Linearform des [mm](K^3)^{\*}[/mm] erzeugn
> kannst,
> einen kleinen Ausschnitt davon hast Du oben gepostet.
> Ebenso wird man Dir vorrechnen, daß die drei [mm]\lambda_i[/mm]
> linear unabhängig sind, womit dann gezeigt ist, daß sie
> eine Basis bilden.
> Damit wissen wir dann auch, daß die Dim des Dualraumes
> gleich der des zugrundeliegenden Vektorraumes ist.
>
> Du solltest das gründlich durcharbeiten.
ja das habe ich jetzt gemacht
und bin soweit das ich sag das 1 falsch ist, weil da ne Abbildung von [mm] K^{2} \to [/mm] K dabei ist
stimmt der Gedankengang oder kann das trotzdem richtig sein?
LG Schmetterfee
> Anschließend wird dann gezeigt, daß es zu jeder Basis des
> K eine duale Basis gibt und umgekehrt.
>
>
> Um jetzt auf Deine Aufgabe zu kommen: es gibt hier mehrere
> Möglichkeiten, heranzugehen.
>
> Ich schlage vor, daß Du es erstmal so versuchst:
>
> 1. jede Basis besteht aus Linearformen
> 2. jede Basis enthält drei Elemente
> 3. Die drei Elemente müssen linear unabhängig sein
>
> Bei 1) - 4) solltest Du damit hinkommen, bei 5) wenden wir
> uns dann den dualen Basen zu.
> Aber bis wir da sind, werden hier vermutlich 10.23m Thread
> entstanden sein...
na dann haben wir aber noch was vor uns mit dem Schreiben^^
> Ich fahre allerdings gleich erstmal zu den Pferden, bin
> dann also mal weg.
>
> Frohes Schaffen und
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
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> > > > Klar. ich wollte eigentlich von Dir hören, daß die Basis
> > > > aus Linearformen besteht, da unsere Vektoren (=Elemente des
> > > > Vektorraumes) in [mm]V^{\*}[/mm] Linearformen sind.
> > > >
> > > > >
> > > > > > Es sei [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis des [mm]K^3.[/mm]
> > > > > > Kannst Du eine Basis des [mm](K^3)^{\*}[/mm] nennen?
> > > > (Skript!)
> > > > > ist das nicht einfach [mm](e_1, e_2, e_3)\*[/mm]
> > >
> > >
> >
> > > [mm]K^{3} \to[/mm]
> > > > K ?
> > > >
> > > > Da kann ich mir nichts drunter vorstellen . Dein [mm](e_1, e_2, e_3)^{\*}[/mm]
> > > > ist ja erstmal einfach eine Bezeichnung für irgendwas.
> > > >
> > > > Ich will die drei Elemente dieser Basis sehen! Auch hierzu
> > > > teilt Dein Skript etwas mit.
> > > In meinem Skript steht nur
> > > [mm]K^{3} \to[/mm] K , [mm](\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \to \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha_{i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > wobei die [mm]\lambda_{i}[/mm] in unsrem [mm]Fall=(e_1, e_2, e_3)[/mm] sind
> > > oder?
> > > mehr steht dazu bei mir nicht oder gibts da nochw as
> > > anderes?
> >
> > Hallo,
> >
> > ich denke, daß in Deinem Skript noch einiges steht...
> >
> > Du kannst nicht völlig zusammenhangslos eine (durchaus
> > richtige Zeile) herausgreifen, ohne daß Dir die Bedeutung
> > der Zeichen klar ist.
> >
> > So kommst Du nicht auf einen grünen Zweig.
> >
> > Im Skript wird gewiß erstmal erklärt, was der Dualraum
> > ist,vielleicht gezeigt, wie Linearformen aussehen.
> >
> > Und dann wird ziemlich schnell der Punkt duale Basis
> > kommen, und für den interessiere ich mich und versuchte,
> > ihn aus Dir herauszukitzeln.
> >
> > Dort wird dies stehen, was ich jetzt für den Fall n=3
> > notiere:
> >
> > Wenn [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis vom [mm]K^3[/mm] ist, dann ist
> > [mm](\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)[/mm] eine Basis von
> > [mm](K^3)^{\*},[/mm]
> >
> > wobei [mm]\lambda_i: K^3\to[/mm] K mit [mm]\lambda_i(e_j):=\delta_i_j.[/mm]
> >
> > Das ist eine Stelle, an der viele stutzen.
> >
> > Schauen wir uns an, was [mm]\lambda_1[/mm] ist. Es ist eine lineare
> > Abbildung aus dem [mm]K^3[/mm] in den K.
> > Lineare Abbildungen sind durch Angabe ihrer Werte auf
> > einer Basis eindeutig bestimmt, und genau das wird in der
> > obigen def. getan: es werden die Funktionswerte für [mm]e_1, e_2, e_3[/mm]
> > angegeben, nämlich
> > [mm]\lambda_1(e_1):=1, \lambda_1(e_2):=0, \lambda_1(e_3):=0.[/mm]
>
> >
> > Du solltest nun in der Lage sein, die anderen beiden
> > Elemente [mm]\lambda_2, \lambda_3[/mm] auch noch aufzuschreiben.
> ja das kann ich glaub ich:)
> [mm]\lambda_{2}(e_{1}):=0, \lambda_{2}(e_{2}):=1, \lambda_{2}(e_{3}):=0,[/mm]
>
> [mm]\lambda_{3}(e_{1}):=0, \lambda_{3}(e_{2}):=0, \lambda_{3}(e_{3}):=1[/mm]
Hallo,
genau. Das ist dire zu [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] duale Basis.
>
> > Danach wird dann vorgerechnet, daß Du mit diesen drei
> > Elementen wirklich jede Linearform des [mm](K^3)^{\*}[/mm] erzeugn
> > kannst,
> > einen kleinen Ausschnitt davon hast Du oben gepostet.
> > Ebenso wird man Dir vorrechnen, daß die drei [mm]\lambda_i[/mm]
> > linear unabhängig sind, womit dann gezeigt ist, daß sie
> > eine Basis bilden.
> > Damit wissen wir dann auch, daß die Dim des Dualraumes
> > gleich der des zugrundeliegenden Vektorraumes ist.
> >
> > Du solltest das gründlich durcharbeiten.
> ja das habe ich jetzt gemacht
> und bin soweit das ich sag das 1 falsch ist, weil da ne
> Abbildung von [mm]K^{2} \to[/mm] K dabei ist
Da hast Du natürlich recht.
Aber das ist ein Tippfehler, ich bin mir ganz sicher, daß es eigentlich heißen sollte bei der mittleren Abbildung
[mm] (x,y,z)\mapsto [/mm] x-y
Wenn Du Dir dies überlegst, lernst Du mehr - ich ändere das auch mal im Eingangspost.
Gruß v. Angela
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> > > > > Klar. ich wollte eigentlich von Dir hören, daß die Basis
> > > > > aus Linearformen besteht, da unsere Vektoren (=Elemente des
> > > > > Vektorraumes) in [mm]V^{\*}[/mm] Linearformen sind.
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > > Es sei [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis des [mm]K^3.[/mm]
> > > > > > > Kannst Du eine Basis des [mm](K^3)^{\*}[/mm]
> nennen?
> > > > > (Skript!)
> > > > > > ist das nicht einfach [mm](e_1, e_2, e_3)\*[/mm]
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > > [mm]K^{3} \to[/mm]
> > > > > K ?
> > > > >
> > > > > Da kann ich mir nichts drunter vorstellen . Dein [mm](e_1, e_2, e_3)^{\*}[/mm]
> > > > > ist ja erstmal einfach eine Bezeichnung für irgendwas.
> > > > >
> > > > > Ich will die drei Elemente dieser Basis sehen! Auch hierzu
> > > > > teilt Dein Skript etwas mit.
> > > > In meinem Skript steht nur
> > > > [mm]K^{3} \to[/mm] K , [mm](\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \to \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha_{i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > wobei die [mm]\lambda_{i}[/mm] in unsrem [mm]Fall=(e_1, e_2, e_3)[/mm] sind
> > > > oder?
> > > > mehr steht dazu bei mir nicht oder gibts da nochw as
> > > > anderes?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich denke, daß in Deinem Skript noch einiges steht...
> > >
> > > Du kannst nicht völlig zusammenhangslos eine (durchaus
> > > richtige Zeile) herausgreifen, ohne daß Dir die Bedeutung
> > > der Zeichen klar ist.
> > >
> > > So kommst Du nicht auf einen grünen Zweig.
> > >
> > > Im Skript wird gewiß erstmal erklärt, was der Dualraum
> > > ist,vielleicht gezeigt, wie Linearformen aussehen.
> > >
> > > Und dann wird ziemlich schnell der Punkt duale Basis
> > > kommen, und für den interessiere ich mich und versuchte,
> > > ihn aus Dir herauszukitzeln.
> > >
> > > Dort wird dies stehen, was ich jetzt für den Fall n=3
> > > notiere:
> > >
> > > Wenn [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis vom [mm]K^3[/mm] ist, dann ist
> > > [mm](\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)[/mm] eine Basis von
> > > [mm](K^3)^{\*},[/mm]
> > >
> > > wobei [mm]\lambda_i: K^3\to[/mm] K mit [mm]\lambda_i(e_j):=\delta_i_j.[/mm]
> > >
> > > Das ist eine Stelle, an der viele stutzen.
> > >
> > > Schauen wir uns an, was [mm]\lambda_1[/mm] ist. Es ist eine lineare
> > > Abbildung aus dem [mm]K^3[/mm] in den K.
> > > Lineare Abbildungen sind durch Angabe ihrer Werte
> auf
> > > einer Basis eindeutig bestimmt, und genau das wird in der
> > > obigen def. getan: es werden die Funktionswerte für [mm]e_1, e_2, e_3[/mm]
> > > angegeben, nämlich
> > > [mm]\lambda_1(e_1):=1, \lambda_1(e_2):=0, \lambda_1(e_3):=0.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Du solltest nun in der Lage sein, die anderen beiden
> > > Elemente [mm]\lambda_2, \lambda_3[/mm] auch noch aufzuschreiben.
> > ja das kann ich glaub ich:)
> > [mm]\lambda_{2}(e_{1}):=0, \lambda_{2}(e_{2}):=1, \lambda_{2}(e_{3}):=0,[/mm]
>
> >
> > [mm]\lambda_{3}(e_{1}):=0, \lambda_{3}(e_{2}):=0, \lambda_{3}(e_{3}):=1[/mm]
>
> Hallo,
>
> genau. Das ist dire zu [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] duale Basis.
>
> >
> > > Danach wird dann vorgerechnet, daß Du mit diesen drei
> > > Elementen wirklich jede Linearform des [mm](K^3)^{\*}[/mm] erzeugn
> > > kannst,
> > > einen kleinen Ausschnitt davon hast Du oben
> gepostet.
> > > Ebenso wird man Dir vorrechnen, daß die drei
> [mm]\lambda_i[/mm]
> > > linear unabhängig sind, womit dann gezeigt ist, daß sie
> > > eine Basis bilden.
> > > Damit wissen wir dann auch, daß die Dim des
> Dualraumes
> > > gleich der des zugrundeliegenden Vektorraumes ist.
> > >
> > > Du solltest das gründlich durcharbeiten.
> > ja das habe ich jetzt gemacht
> > und bin soweit das ich sag das 1 falsch ist, weil da ne
> > Abbildung von [mm]K^{2} \to[/mm] K dabei ist
>
> Da hast Du natürlich recht.
>
> Aber das ist ein Tippfehler, ich bin mir ganz sicher, daß
> es eigentlich heißen sollte bei der mittleren Abbildung
ja kann sein aber auf unseren Aufgabenblatt steht das so...
> [mm](x,y,z)\mapsto[/mm] x-y
>
> Wenn Du Dir dies überlegst, lernst Du mehr - ich ändere
> das auch mal im Eingangspost.
okay aber mein Problem ist jetzt das ich das zwar von den Definition verstanden habe aber trotzdem nicht genau weiß was zu tun ist
also ich würde ja sagen, dass das zweite richtig ist oder?..ist das nicht so ähnlich wie mit den Einheitsvektoren das Beispiel?
ach nee kann ja nicht sein das sind ja abbildungen von [mm] K^{3} [/mm] nach [mm] K^{3} [/mm] und nicht von [mm] K^{3} [/mm] nach K von daher müsste das denn doch falsch sein oder?
und das dritte müsste auch falsch sein weil da zwei funktionen nicht linear sind, weil quadrieren nicht linear ist aber was muss ich denn bei 4 gucken?
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
>
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und 4 müsste doch auch falsch sein weil es die Vektoren l.a. sind oder lieg ich da falsch?
LG Schmetterfee
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> und 4 müsste doch auch falsch sein weil es die Vektoren
> l.a. sind oder lieg ich da falsch?
Hallo,
Du liegst richtig.
Gruß v. Angela
>
> LG Schmetterfee
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> > > > > > Klar. ich wollte eigentlich von Dir hören, daß die Basis
> > > > > > aus Linearformen besteht, da unsere Vektoren (=Elemente des
> > > > > > Vektorraumes) in [mm]V^{\*}[/mm] Linearformen sind.
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > > Es sei [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis des [mm]K^3.[/mm]
> > > > > > > > Kannst Du eine Basis des [mm](K^3)^{\*}[/mm]
> > nennen?
> > > > > > (Skript!)
> > > > > > > ist das nicht einfach [mm](e_1, e_2, e_3)\*[/mm]
>
> > >
> > > >
> > > > >
> > > >
> > > > > [mm]K^{3} \to[/mm]
> > > > > > K ?
> > > > > >
> > > > > > Da kann ich mir nichts drunter vorstellen . Dein [mm](e_1, e_2, e_3)^{\*}[/mm]
> > > > > > ist ja erstmal einfach eine Bezeichnung für irgendwas.
> > > > > >
> > > > > > Ich will die drei Elemente dieser Basis sehen! Auch hierzu
> > > > > > teilt Dein Skript etwas mit.
> > > > > In meinem Skript steht nur
> > > > > [mm]K^{3} \to[/mm] K , [mm](\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \to \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha_{i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > wobei die [mm]\lambda_{i}[/mm] in unsrem [mm]Fall=(e_1, e_2, e_3)[/mm] sind
> > > > > oder?
> > > > > mehr steht dazu bei mir nicht oder gibts da nochw as
> > > > > anderes?
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich denke, daß in Deinem Skript noch einiges steht...
> > > >
> > > > Du kannst nicht völlig zusammenhangslos eine (durchaus
> > > > richtige Zeile) herausgreifen, ohne daß Dir die Bedeutung
> > > > der Zeichen klar ist.
> > > >
> > > > So kommst Du nicht auf einen grünen Zweig.
> > > >
> > > > Im Skript wird gewiß erstmal erklärt, was der Dualraum
> > > > ist,vielleicht gezeigt, wie Linearformen aussehen.
> > > >
> > > > Und dann wird ziemlich schnell der Punkt duale Basis
> > > > kommen, und für den interessiere ich mich und versuchte,
> > > > ihn aus Dir herauszukitzeln.
> > > >
> > > > Dort wird dies stehen, was ich jetzt für den Fall n=3
> > > > notiere:
> > > >
> > > > Wenn [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis vom [mm]K^3[/mm] ist, dann ist
> > > > [mm](\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)[/mm] eine Basis von
> > > > [mm](K^3)^{\*},[/mm]
> > > >
> > > > wobei [mm]\lambda_i: K^3\to[/mm] K mit [mm]\lambda_i(e_j):=\delta_i_j.[/mm]
> > > >
> > > > Das ist eine Stelle, an der viele stutzen.
> > > >
> > > > Schauen wir uns an, was [mm]\lambda_1[/mm] ist. Es ist eine lineare
> > > > Abbildung aus dem [mm]K^3[/mm] in den K.
> > > > Lineare Abbildungen sind durch Angabe ihrer Werte
> > auf
> > > > einer Basis eindeutig bestimmt, und genau das wird in der
> > > > obigen def. getan: es werden die Funktionswerte für [mm]e_1, e_2, e_3[/mm]
> > > > angegeben, nämlich
> > > > [mm]\lambda_1(e_1):=1, \lambda_1(e_2):=0, \lambda_1(e_3):=0.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Du solltest nun in der Lage sein, die anderen beiden
> > > > Elemente [mm]\lambda_2, \lambda_3[/mm] auch noch aufzuschreiben.
> > > ja das kann ich glaub ich:)
> > > [mm]\lambda_{2}(e_{1}):=0, \lambda_{2}(e_{2}):=1, \lambda_{2}(e_{3}):=0,[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\lambda_{3}(e_{1}):=0, \lambda_{3}(e_{2}):=0, \lambda_{3}(e_{3}):=1[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > genau. Das ist dire zu [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] duale Basis.
> >
> > >
> > > > Danach wird dann vorgerechnet, daß Du mit diesen drei
> > > > Elementen wirklich jede Linearform des [mm](K^3)^{\*}[/mm] erzeugn
> > > > kannst,
> > > > einen kleinen Ausschnitt davon hast Du oben
> > gepostet.
> > > > Ebenso wird man Dir vorrechnen, daß die drei
> > [mm]\lambda_i[/mm]
> > > > linear unabhängig sind, womit dann gezeigt ist, daß sie
> > > > eine Basis bilden.
> > > > Damit wissen wir dann auch, daß die Dim des
> > Dualraumes
> > > > gleich der des zugrundeliegenden Vektorraumes ist.
> > > >
> > > > Du solltest das gründlich durcharbeiten.
> > > ja das habe ich jetzt gemacht
> > > und bin soweit das ich sag das 1 falsch ist, weil da
> ne
> > > Abbildung von [mm]K^{2} \to[/mm] K dabei ist
> >
> > Da hast Du natürlich recht.
> >
> > Aber das ist ein Tippfehler, ich bin mir ganz sicher, daß
> > es eigentlich heißen sollte bei der mittleren Abbildung
> ja kann sein aber auf unseren Aufgabenblatt steht das
> so...
> > [mm](x,y,z)\mapsto[/mm] x-y
> >
> > Wenn Du Dir dies überlegst, lernst Du mehr - ich ändere
> > das auch mal im Eingangspost.
> okay aber mein Problem ist jetzt das ich das zwar von den
> Definition verstanden habe aber trotzdem nicht genau weiß
> was zu tun ist
>
> also ich würde ja sagen, dass das zweite richtig ist
> oder?..ist das nicht so ähnlich wie mit den
> Einheitsvektoren das Beispiel?
> ach nee kann ja nicht sein das sind ja abbildungen von
> [mm]K^{3}[/mm] nach [mm]K^{3}[/mm] und nicht von [mm]K^{3}[/mm] nach K von daher
> müsste das denn doch falsch sein oder?
> und das dritte müsste auch falsch sein weil da zwei
> funktionen nicht linear sind, weil quadrieren nicht linear
> ist
Hallo,
genau.
Gruß v. Angela
aber was muss ich denn bei 4 gucken?
> LG Schmetterfee
> > Gruß v. Angela
> >
>
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> > > > > > > Klar. ich wollte eigentlich von Dir hören, daß die Basis
> > > > > > > aus Linearformen besteht, da unsere Vektoren (=Elemente des
> > > > > > > Vektorraumes) in [mm]V^{\*}[/mm] Linearformen sind.
> > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > > Es sei [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis des [mm]K^3.[/mm]
> > > > > > > > > Kannst Du eine Basis des
> [mm](K^3)^{\*}[/mm]
> > > nennen?
> > > > > > > (Skript!)
> > > > > > > > ist das nicht einfach [mm](e_1, e_2, e_3)\*[/mm]
>
> >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > > > > [mm]K^{3} \to[/mm]
> > > > > > > K ?
> > > > > > >
> > > > > > > Da kann ich mir nichts drunter vorstellen . Dein [mm](e_1, e_2, e_3)^{\*}[/mm]
> > > > > > > ist ja erstmal einfach eine Bezeichnung für irgendwas.
> > > > > > >
> > > > > > > Ich will die drei Elemente dieser Basis sehen! Auch hierzu
> > > > > > > teilt Dein Skript etwas mit.
> > > > > > In meinem Skript steht nur
> > > > > > [mm]K^{3} \to[/mm] K , [mm](\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \to \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha_{i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > wobei die [mm]\lambda_{i}[/mm] in unsrem [mm]Fall=(e_1, e_2, e_3)[/mm] sind
> > > > > > oder?
> > > > > > mehr steht dazu bei mir nicht oder gibts da nochw as
> > > > > > anderes?
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > ich denke, daß in Deinem Skript noch einiges steht...
> > > > >
> > > > > Du kannst nicht völlig zusammenhangslos eine (durchaus
> > > > > richtige Zeile) herausgreifen, ohne daß Dir die Bedeutung
> > > > > der Zeichen klar ist.
> > > > >
> > > > > So kommst Du nicht auf einen grünen Zweig.
> > > > >
> > > > > Im Skript wird gewiß erstmal erklärt, was der Dualraum
> > > > > ist,vielleicht gezeigt, wie Linearformen aussehen.
> > > > >
> > > > > Und dann wird ziemlich schnell der Punkt duale Basis
> > > > > kommen, und für den interessiere ich mich und versuchte,
> > > > > ihn aus Dir herauszukitzeln.
> > > > >
> > > > > Dort wird dies stehen, was ich jetzt für den Fall n=3
> > > > > notiere:
> > > > >
> > > > > Wenn [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] eine Basis vom [mm]K^3[/mm] ist, dann ist
> > > > > [mm](\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)[/mm] eine Basis von
> > > > > [mm](K^3)^{\*},[/mm]
> > > > >
> > > > > wobei [mm]\lambda_i: K^3\to[/mm] K mit [mm]\lambda_i(e_j):=\delta_i_j.[/mm]
> > > > >
> > > > > Das ist eine Stelle, an der viele stutzen.
> > > > >
> > > > > Schauen wir uns an, was [mm]\lambda_1[/mm] ist. Es ist eine lineare
> > > > > Abbildung aus dem [mm]K^3[/mm] in den K.
> > > > > Lineare Abbildungen sind durch Angabe ihrer
> Werte
> > > auf
> > > > > einer Basis eindeutig bestimmt, und genau das wird in der
> > > > > obigen def. getan: es werden die Funktionswerte für [mm]e_1, e_2, e_3[/mm]
> > > > > angegeben, nämlich
> > > > > [mm]\lambda_1(e_1):=1, \lambda_1(e_2):=0, \lambda_1(e_3):=0.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Du solltest nun in der Lage sein, die anderen beiden
> > > > > Elemente [mm]\lambda_2, \lambda_3[/mm] auch noch aufzuschreiben.
> > > > ja das kann ich glaub ich:)
> > > > [mm]\lambda_{2}(e_{1}):=0, \lambda_{2}(e_{2}):=1, \lambda_{2}(e_{3}):=0,[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\lambda_{3}(e_{1}):=0, \lambda_{3}(e_{2}):=0, \lambda_{3}(e_{3}):=1[/mm]
>
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> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > genau. Das ist dire zu [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] duale Basis.
> > >
> > > >
> > > > > Danach wird dann vorgerechnet, daß Du mit diesen drei
> > > > > Elementen wirklich jede Linearform des [mm](K^3)^{\*}[/mm] erzeugn
> > > > > kannst,
> > > > > einen kleinen Ausschnitt davon hast Du oben
> > > gepostet.
> > > > > Ebenso wird man Dir vorrechnen, daß die drei
> > > [mm]\lambda_i[/mm]
> > > > > linear unabhängig sind, womit dann gezeigt ist, daß sie
> > > > > eine Basis bilden.
> > > > > Damit wissen wir dann auch, daß die Dim des
> > > Dualraumes
> > > > > gleich der des zugrundeliegenden Vektorraumes ist.
> > > > >
> > > > > Du solltest das gründlich durcharbeiten.
> > > > ja das habe ich jetzt gemacht
> > > > und bin soweit das ich sag das 1 falsch ist, weil
> da
> > ne
> > > > Abbildung von [mm]K^{2} \to[/mm] K dabei ist
> > >
> > > Da hast Du natürlich recht.
> > >
> > > Aber das ist ein Tippfehler, ich bin mir ganz sicher, daß
> > > es eigentlich heißen sollte bei der mittleren Abbildung
> > ja kann sein aber auf unseren Aufgabenblatt steht das
> > so...
> > > [mm](x,y,z)\mapsto[/mm] x-y
> > >
> > > Wenn Du Dir dies überlegst, lernst Du mehr - ich ändere
> > > das auch mal im Eingangspost.
> > okay aber mein Problem ist jetzt das ich das zwar von
> den
> > Definition verstanden habe aber trotzdem nicht genau weiß
> > was zu tun ist
> >
> > also ich würde ja sagen, dass das zweite richtig ist
> > oder?..ist das nicht so ähnlich wie mit den
> > Einheitsvektoren das Beispiel?
> > ach nee kann ja nicht sein das sind ja abbildungen von
> > [mm]K^{3}[/mm] nach [mm]K^{3}[/mm] und nicht von [mm]K^{3}[/mm] nach K von daher
> > müsste das denn doch falsch sein oder?
> > und das dritte müsste auch falsch sein weil da zwei
> > funktionen nicht linear sind, weil quadrieren nicht linear
> > ist
>
> Hallo,
>
> genau.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
> aber was muss ich denn bei 4 gucken?
naja bei 4 lässt sich ja der letzte vektor durch die beiden ersten darstellen aber was muss ich bei der letzten frage machen?
das versteh ich noch nicht so ganz...
LG Schmetterfee
> > LG Schmetterfee
> > > Gruß v. Angela
> > >
> >
>
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also ich habe jetzt geprüft das bei 5 die vektoren l.u. sind außerdem sind es Abbildungen von [mm] K^{3} [/mm] nach k aber reicht das schon um zu sagen das es ne Basis ist? was muss ich noch prüfen?
LG Schmetterfee
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> also ich habe jetzt geprüft das bei 5 die vektoren l.u.
> sind außerdem sind es Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach k aber
> reicht das schon um zu sagen das es ne Basis ist? was muss
> ich noch prüfen?
Wenn Du alles, was Du schreibst, richtig gemacht hast: nichts mehr.
Gruß v. Angela
>
> LG Schmetterfee
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> > also ich habe jetzt geprüft das bei 5 die vektoren l.u.
> > sind außerdem sind es Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach k aber
> > reicht das schon um zu sagen das es ne Basis ist? was muss
> > ich noch prüfen?
>
> Wenn Du alles, was Du schreibst, richtig gemacht hast:
> nichts mehr.
>
> Gruß v. Angela
> >
> > LG Schmetterfee
>
okay dann komme ich durch meine Rechnungen zu den Schluss das das eine Basis ist...und habe ich richtig gerechnet?
LG Schmetterfee
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> > > also ich habe jetzt geprüft das bei 5 die vektoren l.u.
> > > sind außerdem sind es Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach k aber
> > > reicht das schon um zu sagen das es ne Basis ist? was muss
> > > ich noch prüfen?
> >
> > Wenn Du alles, was Du schreibst, richtig gemacht hast:
> > nichts mehr.
> >
> > Gruß v. Angela
> > >
> > > LG Schmetterfee
> >
> okay dann komme ich durch meine Rechnungen zu den Schluss
> das das eine Basis ist...und habe ich richtig gerechnet?
>
Hallo,
es ist eine Basis,
ob Du richtig gerechnet hast, oder aufgrund falscher Rechnungen hierzu gekommen bist, kann ich nicht wissen.
Ich habe Deine Rechnung ja gar nicht gesehen.
Gruß v. Angela
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> > > > also ich habe jetzt geprüft das bei 5 die vektoren l.u.
> > > > sind außerdem sind es Abbildungen von [mm]K^{3}[/mm] nach k aber
> > > > reicht das schon um zu sagen das es ne Basis ist? was muss
> > > > ich noch prüfen?
> > >
> > > Wenn Du alles, was Du schreibst, richtig gemacht hast:
> > > nichts mehr.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > > >
> > > > LG Schmetterfee
> > >
> > okay dann komme ich durch meine Rechnungen zu den Schluss
> > das das eine Basis ist...und habe ich richtig gerechnet?
> >
>
> Hallo,
>
> es ist eine Basis,
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> ob Du richtig gerechnet hast, oder aufgrund falscher
> Rechnungen hierzu gekommen bist, kann ich nicht wissen.
> Ich habe Deine Rechnung ja gar nicht gesehen.
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> Gruß v. Angela
ja klar sorry..aber danke das du dir soviel Zeit für mich genommen hast...aufjedendall habe ich jetzt viel mehr von dem Stoff verstanden als voher
LG Schmetterfee
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> das versteh ich noch nicht so ganz...
Aha.
Wieweit verstehst Du es denn?
Was denkst Du Dir und wo hört Dein Verständnis auf?
Vielleicht gelingt es Dir, einen Zusammenhang zur dualen Basis herzustellen.
Gruß v. Angela
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