Basis und Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit der Basis [mm] $v_{1},\ldots,v_{n}$.
[/mm]
Zeigen Sie, daß auch [mm] $v_{1},\ldots, v_{n-1}, [/mm] w:= [mm] \summe_{i=1}^{n} v_{i}$ [/mm] eine Basis von $V$ ist. |
Da dies ja eine Basis sein soll, muss man erst mal zeigen, dass [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n-1}, [/mm] w:= [mm] \summe_{i=1}^{n} v_{i} [/mm] linear unabhängig ist !
Jetzt weiß ich leider nicht, wie man das mathematisch so richtig schreibt:
[mm] \summe_{j=1}^{n-1} \lambda_{j} [/mm] * [mm] v_{n-1} [/mm] + [mm] \lambda_{n} [/mm] * w = 0 ?
Naja, richtig ausgeschrieben soll das dann so heißen:
[mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] v_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] * [mm] v_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] * [mm] v_{3} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n-1} [/mm] * [mm] v_{n-1} [/mm] + [mm] \lambda_{n} [/mm] * w = 0;
[mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] v_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] * [mm] v_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] * [mm] v_{3} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n-1} [/mm] * [mm] v_{n-1} [/mm] + [mm] \lambda_{n} [/mm] * [mm] (v_{1} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] + [mm] v_{3} [/mm] + ... + [mm] v_{n-1} [/mm] + [mm] v_{n}) [/mm] = 0;
Jetzt stell ich das Ganze einfach ein bisschen um:
[mm] v_{1} [/mm] * ( [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{n} [/mm] ) + [mm] v_{2} [/mm] * ( [mm] \lambda_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{n} [/mm] ) + [mm] v_{3} [/mm] * ( [mm] \lambda_{3} [/mm] + [mm] \lambda_{n} [/mm] ) + ... + [mm] v_{n-1} [/mm] * ( [mm] \lambda_{n-1} [/mm] + [mm] \lambda_{n} [/mm] ) +
[mm] v_{n} [/mm] * [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0 ;
==> [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0 ==> [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{n-1} [/mm] = 0;
==> [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n-1}, [/mm] w:= [mm] \summe_{i=1}^{n} v_{i} [/mm] ist linear unabhängig !
Als zweites muss man noch zeigen, dass dies noch ein Erzeugendensystem ist!
"Die Vektorfamilie ( [mm] v_{1}, v_{2}, [/mm] ... [mm] v_{n} [/mm] ) heißt Erzeugendensystem des Vektorraums , wenn gilt: V = span ( [mm] v_{1}, v_{2}, [/mm] ... [mm] v_{n} [/mm] ). "
Allerdings hab ich dann hier keine Ahnung mehr, wies weitergeht ! Wäre nett, wenn mir einer dies noch zeigen könnte !
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Hallo Julchen,
du brauchst nicht mehr nachzurechnen, dass die neue Basis auch ein Erzeugendensystem ist.
Aufgrund der Dimension ist bereits klar, dass [mm] $\{v_1,v_2,\dots,v_{n-1}\}$ [/mm] einen $n-1$-dimensionalen Unterraum von K aufspannt. Da sowohl die Erweiterung mit [mm] $v_n$ [/mm] oder $w$ wieder eine Menge linear unabhängiger Vektoren liefert, müssen beide Basen einen $n$-dimensionalen Unterraum von K erzeugen. Weil es da nur einen gibt (nämlich K), ist nichts weiter zu zeigen.
Hugo
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