Basis und Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Feroxa |
| Aufgabe | 1. Zeigen Sie, dass A = [mm] \{1, x-1, (x-1)(x-2)\} [/mm] eine Basis des Raumes P der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 ist.
2. Gegeben Seien die Matrix A [mm] \in \IR^{4,4} [/mm] und der Vektor x [mm] \in \IR^{4,1} [/mm] wie folgt: A = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0} [/mm] und x= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 8 \\ -7}
[/mm]
Berechnen Sie das Produkt Ax. |
Hallo zusammen,
also die Aufgabe ist irgendwie zu hoch für mich. Ich weiß dass ich bei 1. erstmal auf lineare Unabhängigkeit prüfen muss, aber wie mach ich das, ich hab doch nur A gegeben.
und bei zweitens weiß ich nicht wie ich das rechnen soll. Mich verwirrt schon dass bei A nur drei Reihen sind un bei x vier Reihen. Ich hab mir das im Skript tausendmal durchgelesen aber ich versteh es einfach nicht. Kann mir jemand den Weg erklären wie ich bei erstens und zweitens vorgehen muss? Kann sein, dass ich irgendwie einfach nur aufm Schlauch stehe, aber ich hab keine Ahnung wie ich da ran gehen muss.
Vielen Dank im Vorraus.
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> 1. Zeigen Sie, dass A = [mm]\{1, x-1, (x-1)(x-2)\}[/mm] eine Basis
> des Raumes P der reellen Polynome vom Grad höchstens 2
> ist.
>
> 2. Gegeben Seien die Matrix A [mm]\in \IR^{4,4}[/mm] und der Vektor
> x [mm]\in \IR^{4,1}[/mm] wie folgt: A = [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0}[/mm]
> und x= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 8 \\ -7}[/mm]
> Berechnen Sie das
> Produkt Ax.
> also die Aufgabe ist irgendwie zu hoch für mich. Ich weiß
> dass ich bei 1. erstmal auf lineare Unabhängigkeit prüfen
> muss, aber wie mach ich das, ich hab doch nur A gegeben.
Hallo,
was brauchst Du sonst noch? Was vermißt Du?
Wie ist die Lineare Unabhängigkeit definiert?
Deine Basis A enthält die drei Vektoren (Elemente des Vektorraumes der Polynome v. höchstgrad 2)
[mm] p_1:=1
[/mm]
[mm] p_2:=x-1
[/mm]
[mm] p_3:=(x-1)(x-2),
[/mm]
und Du mußt nun schauen, ob die Gleichung
[mm] ap_1+bp_2+cp_3=Nullpolynom [/mm] nur die Lösung a=b=c=0 hat.
Dann sind die [mm] p_i [/mm] unabhängig.
Fangen wir an:
es seien a,b,c [mm] \in \IR [/mm] mit
[mm] ap_1+bp_2+cp_3=Nullpolynom
[/mm]
<==> a*1+b*(x-1)+c(x-1)(x-2)=Nullpolynom
<==> (...)*1 +(...)*x + [mm] (...)x^2=Nullpolynom=0*1+0*x+0*x^2
[/mm]
==> nun überlege Dir, wann das rechte und linke Polynom gleich sind.
> und bei zweitens weiß ich nicht wie ich das rechnen soll.
> Mich verwirrt schon dass bei A nur drei Reihen sind un bei
> x vier Reihen.
Man multipliziert doch "Zeile x Spalte"
Ich mach's Dir an einem kleinen Beispiel vor:
[mm] \pmat{ 1 & 2 &5\\ 3 & 4& 6 }\vektor{7\\ 8\\9}=\vektor{1*7+2*8+5*9\\ 3*7+4*8+6*9}=\vektor{68 \\ 107}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Di 01.01.2008 | | Autor: | Feroxa |
Also ich stand wirklich echt aufm Schlauch.
Bei 1. hab ich jetzt auf lineare Unabhängigkeit geprüft und das stimmt auch. Aber damit bin ich ja noch nicht fertig. Ich muss ja noch prüfen ob P = <A>. Also muss ich zeigen dass jedes x aus P als Linearkombination von A dargestellt werden kann. Aber wie mach ich das? Kannst du mir das an einer Beispielaufgabe zeigen?
Zweitens war nach deinem Beispiel dann auch echt einfach. Wollte es mir komplizierter machen. Und vielen Dank für deine Antwort. Hat mir echt schon weitergeholfen.
Grüße, Feroxa
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Hallo Feroxa,
nimm dir einen beliebigen Vektor aus deinem Vektorraum P her und versuche, ihn als Linearkombination der Vektoren aus A darzustellen
Also nimm dir [mm] $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\in [/mm] P$ her und setzt die LK an:
[mm] $a_0+a_1x+a_2x^2=\lambda\cdot{}1+\mu\cdot{}(x-1)+\nu\cdot{}(x-1)(x-2)$
[/mm]
Vereinfache die rechte Seite, mache einen Koeffizientenvergleich und drücke die [mm] $\lambda, \mu, \nu$ [/mm] durch [mm] $a_0, a_1, a_2$ [/mm] aus
Gruß
schachuzipus
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