Basis und Dimension eines LGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgende Matrix geben uns soll für die Lösungsmenge die Basis und die Dimension angeben.
Im 1.schritt bestimme ich die Lösungsmenge(hoffentlich richtig)
2 3 3 0
2 3 3 0
1 5/2 5/2 5
da zeile 1 und 2 dasselbe aussagen kann man doch eine streichen. bleibt also noch die maxtrix
2 3 3 0 2*II - 1
1 5/2 5/2 5 <-->
2 3 3 0
0 2 2 10
daraus läß sich ablesen
x0 = -3/2 z1 - 3/2 z2
x1 = z2 + 5z3
x2= z1 + 5z3
x3 = 1/5z1 + 1/5z2
Ich hoffe bis hierhin habe ich alles richtig gemacht, ich bin auch beim ablesen etwas verwirrt weil die matrizen mit denen ich bis jetzt gerechtnet habe, auch immer schön alles unter der hauptdiagonalen 0 hatte.
Da war das ablesen so einfach...
Die Dimension bestimm sich aus n- Rang der Matrix, wobei n die anzahl der frei wählbaren variablen ist.
Und hier setzt es dan komplett aus aus , ist n in meinem BSP = 4 weil ich variablen x0...x3 habe ?
Der Rang ist wohl 2, aber da bin ich mir auch unsicher
Ist die Dimension 2 als Ergebnis?
Und wie siehst mit der Basis aus(hab dazu nix gefunden ?
Also wenn das einer nachrechnen könnte fände ich das supertoll weil ich gar nich mehr weiterkomme, bin halt n newb...
Danke :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Ich nehme an, dass es sich bei der dir gegebenen Matrix um die Koeffizientenmatrix eines homogenen Gleichungssystemes in vier Unbekannten handelt, richtig? Es könnte ja auch die erweiterte Koeffizientenmatrix gemeint sein; nun, gehen wir mal von ersterem aus:
Korrekter weise hast du die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in
$\pmat{2 & 3 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 2 & 10}$
überführt. Du bist nun aber noch nicht fertig. Du musst noch die erste Zeile mit 2 multiplizieren und von ihr das dreifache der zweiten Zeile abziehen, . Dies führt zu
$\pmat{4 & 0 & 0 & -30\\ 0 & 2 & 2 & 10}\to\pmat{2 & 0 & 0 & -15\\ 0 & 1 & 1 & 5}$.
Diese Matrix ist Koeffizietenmatrix des Gleichungssystemes
$2x_1-15x_4 = 0$
$x_2+x_3+5x_4 = 0$.
Setzt du $x_3=\lambda$ und $x_4=\mu$ beliebig, erhältst du:
$x_1 = -\frac{15}{2}\mu$
$x_2=-\lambda-5\mu$.
Die LÖsungsmenge des Gleichungssystemes lautet somit
$\left\{\vektor{-\frac{15}{2}\\-\lambda-5\mu\\\lambda\\\mu}\vert \lambda,\mu\in\IR\right\}=\left\langle\{\vektor{-\frac{15}{2}\\-5\\ 0\\ 1},\vektor{0\\-1\\ 1\\ 0\}\right\rangle$.
Damit ist auch klar, dass die Dimension des Lösungsraumes gleich 2 ist, und dass eine Basis genau die Menge $\left\{\vektor{-\frac{15}{2}\\-5\\ 0\\ 1},\vektor{0\\-1\\ 1\\ 0}\right\}$ bildet.
Ich hoffe ich konnte dir helfen und dir das Verfahren ein wenig näher bringen.
Liebe Grüße,
Hanno
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