Basis und Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Di 31.01.2006 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | Sei V ein 4 dimensionaler [mm] \IQ [/mm] vektorraum mit Basis B= (v1,v2,v3,v4). Wir betrachten die untervektorräume U und W von V:
U = <2v1+v3+v4 , 2v2-v3+v4 , 3v1-v2+2v3+v4 , v1-v2+v3>
W =<v1+v3+v4 , 2v1+v2+v4 , -v1+2v2>
geben sie eine Basis von U und W an und berechnen sie [mm] dim_{\IQ}(U \capW).
[/mm]
Gilt V = U +W ? und gilt V = U [mm] \oplus [/mm] W
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hallo ihr...
hab da mal ne frage zu der basis und der dimension von Untervektorräumen, wenn man U in matrix daarstellung schreib und durch elementare zeilen umformungen auf folgende form bringt :
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & -1 & 1 }
[/mm]
dann sieht man dass 3 zeilen gleich sind,d.h. es können nur zwei vektoren linear unabhängig sein. kann ich dann also einfach 2 streichen und sagen, dass (2v1+v3+v4 , 2v2-v3+v4) eine basis von U ist?? wen ich aber dies vektoren auf lineare unabhängigkeit prüfen will, wie mach ich das?? denn dies gibt ja ein gleichungssystem mit 3 unbekannten aber nur 2 gleichungen, d.h es ist nur nichttrivial lösbar, also sind sie doch wieder linear abhängig und somit keine basis?? oder??
genaus siehts bei dem unterraum W aus. ich habe ein gleichungssystem mit 3 gleichungen aber 4 unbekannten, d.h. es sind alle abhängig. wenn ich einen vektor raus nehme sind immer noch 3 unbekannt aber nur 2 gleichungen. besteht dann hier die basis nur aus einem vektor???
ausßerdem muss ich noch die [mm] dim_Q(U [/mm] geschnitten W) berechnen?? die dimension ist laut definition die anzahl der elemente der basis?? wenn ich aber nun den schnitt von U und W brauche, kann ich doch die zwei dimensionen nicht einfach voneinander abziehen, oder??
und wie kann ich zeigen, dass V = U+W ist??? bzw V= U [mm] \oplus [/mm] W
wäre dankbar wenn jemand zeit hätte sich mit der aufgabe zu beschäftigen und mir weiter helfen könnte.
gruß trixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Di 31.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo trixi
2 vektorenu,v sind lin. unabhängig, wenn a*u+b*v= 0 nur lösbar mit a=b=0!
> Sei V ein 4 dimensionaler [mm]\IQ[/mm] vektorraum mit Basis B=
> (v1,v2,v3,v4). Wir betrachten die untervektorräume U und W
> von V:
>
> U = <2v1+v3+v4 , 2v2-v3+v4 , 3v1-v2+2v3+v4 , v1-v2+v3>
> W =<v1+v3+v4 , 2v1+v2+v4 , -v1+2v2>
>
>
> geben sie eine Basis von U und W an und berechnen sie
> [mm]dim_{\IQ}(U \capW).[/mm]
> Gilt V = U +W ? und gilt V = U [mm]\oplus[/mm]
> W
>
> hallo ihr...
>
> hab da mal ne frage zu der basis und der dimension von
> Untervektorräumen, wenn man U in matrix daarstellung
> schreib und durch elementare zeilen umformungen auf
> folgende form bringt :
U in Matrixdarstellung schreiben ist schlecht ausgedrückt. was du gemacht hast aber richtig, du hast festgestellt, dass es nur 2 lin unab. gibt.
dazu kannst du z. Bsp deine 2 ersten nehmen:
a*( 2v1+v3+v4)+b*(2v2-v3+v4)=0 ist nur möglich mit a=b=0
denn sonst hättest du ja eine linearkomb. von v1,v2,v3,v4, die 0 ergäben, im Widerspruch dazu, dass das Basisvektoren sind.
genauso gehst du beim 2. Unterraum vor!
die sind alle 3 lin unabhängig!
die maximalzahl der lin unabh. gibt die Dimension, also 2 und 3.
U+W enthält alle Vektoren u+w, d.h. wenn du darin 4 lin. unabhängige findest ist es V.
U [mm] \oplus [/mm] W heisst [mm] U\cap W=\{0\}.
[/mm]
Ich hoff, damit kommst du jetzt weiter.
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & -1 & 1 }[/mm]
>
> dann sieht man dass 3 zeilen gleich sind,d.h. es können nur
> zwei vektoren linear unabhängig sein. kann ich dann also
> einfach 2 streichen und sagen, dass (2v1+v3+v4 , 2v2-v3+v4)
> eine basis von U ist?? wen ich aber dies vektoren auf
> lineare unabhängigkeit prüfen will, wie mach ich das?? denn
> dies gibt ja ein gleichungssystem mit 3 unbekannten aber
> nur 2 gleichungen, d.h es ist nur nichttrivial lösbar, also
> sind sie doch wieder linear abhängig und somit keine
> basis?? oder??
>
> genaus siehts bei dem unterraum W aus. ich habe ein
> gleichungssystem mit 3 gleichungen aber 4 unbekannten, d.h.
> es sind alle abhängig. wenn ich einen vektor raus nehme
> sind immer noch 3 unbekannt aber nur 2 gleichungen. besteht
> dann hier die basis nur aus einem vektor???
>
> ausßerdem muss ich noch die [mm]dim_Q(U[/mm] geschnitten W)
> berechnen?? die dimension ist laut definition die anzahl
> der elemente der basis?? wenn ich aber nun den schnitt von
> U und W brauche, kann ich doch die zwei dimensionen nicht
> einfach voneinander abziehen, oder??
Nein! W könnte ja ein Unterraum von U sein oder umgekehrt!
>
> und wie kann ich zeigen, dass V = U+W ist??? bzw V= U
> [mm]\oplus[/mm] W
Gruss leduart
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