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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Sa 31.08.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Sei [mm] B=(b_1, b_2, b_3) [/mm] eine Basis eines reellen Vektorraumes V, und sei eine Bilinearform f auf V gegeben durch [mm] M_B(f) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }. [/mm]
Zeigen Sie, dass B':= [mm] (b_1+b_2, b_2+b_3, b_2) [/mm] eine Basis von V ist und bestimmen Sie [mm] M_{B'}(f) [/mm] |
Hallo.
Ich bin mir jetzt gerade nicht ganz sicher, ob meine Gedankengänge richtig sind:
Zur Bestimmung von [mm] M_{B'}(f): [/mm]
[mm] f(b_1+b_2, b_1+b_2) [/mm] = [mm] f(b_1, b_1)+f(b_1, b_2)+f(b_2, b_1)+f(b_2, b_2) [/mm] = 1+1+1+1 = 4
Das ist jetzt der Eintrag [mm] a_{11} [/mm] der zu bestimmenden Matrix und das mache ich jetzt halt für alle anderen genauso und dann habe ich die Matrix, stimmts?
Zur Basis:
B ist Basis von V, d.h. [mm] b_1, b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] sind linear unabhängig. Also es gilt: [mm] \lambda_1*b_1+\lambda_2*b_2+\lambda_3*b_3=0 [/mm] => [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0
[/mm]
Also muss ja dann auch gelten [mm] \lambda_1*(b_1+b_2)+\lambda_2*(b_2+b_3)+\lambda_3*b_2 [/mm] = 0 => [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0, [/mm] oder?
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> Sei [mm]B=(b_1, b_2, b_3)[/mm] eine Basis eines reellen Vektorraumes
> V, und sei eine Bilinearform f auf V gegeben durch [mm]M_B(f)[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }.[/mm]
> Zeigen Sie, dass B':= [mm](b_1+b_2, b_2+b_3, b_2)[/mm] eine Basis
> von V ist und bestimmen Sie [mm]M_{B'}(f)[/mm]
> Hallo.
>
> Ich bin mir jetzt gerade nicht ganz sicher, ob meine
> Gedankengänge richtig sind:
>
> Zur Bestimmung von [mm]M_{B'}(f):[/mm]
> [mm]f(b_1+b_2, b_1+b_2)[/mm] = [mm]f(b_1, b_1)+f(b_1, b_2)+f(b_2, b_1)+f(b_2, b_2)[/mm]
> = 1+1+1+1 = 4
> Das ist jetzt der Eintrag [mm]a_{11}[/mm] der zu bestimmenden Matrix
> und das mache ich jetzt halt für alle anderen genauso und
> dann habe ich die Matrix, stimmts?
Hallo,
ja, stimmt.
>
> Zur Basis:
> B ist Basis von V, d.h. [mm]b_1, b_2[/mm] und [mm]b_3[/mm] sind linear
> unabhängig. Also es gilt:
> [mm]\lambda_1*b_1+\lambda_2*b_2+\lambda_3*b_3=0[/mm] =>
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm]
> Also muss ja dann auch gelten
> [mm]\lambda_1*(b_1+b_2)+\lambda_2*(b_2+b_3)+\lambda_3*b_2[/mm] = 0
> => [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0,[/mm] oder?
Ja, das istzu zeigen.
LG Angela
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