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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Di 15.06.2010 | | Autor: | Milili |
| Aufgabe | Es sei B [mm] =(v_{1}, ...v_{n}) [/mm] eine Basis des K- VRs V und v = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} v_{i} [/mm] ein Vektor aus V. Bestimmen Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an v, damit (v, [mm] v_{2},...,v_{n}) [/mm] eine Basis von V ist.
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Ich habe für die notwendige Bedingung folgende Überlegungen angestellt:
Damit [mm] (v,v_{2},...,v_{n}) [/mm] eine Basis von V ist, müssen die Vektoren linear unabhängig sein. Da Die Dimension von [mm] (v,v_{2},...,v_{n}) [/mm] dann gleich der Dimension von [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] ist, müsste dies (meine) ich reichen.
Lineare Unabhängigkeit besteht dann, wenn es eine triviale Darstellung der Null gibt.
Dazu habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] \lambda_{1}v [/mm] + [mm] \lambda_{2}v_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}v_{3} [/mm] + ....+ [mm] \lambda_{n}v_{n} [/mm] =
[mm] \lambda_{1}* (a_{1}v_{1} [/mm] + [mm] a_{2}v_{2} [/mm] + [mm] a_{3}v_{3}+...+a_{n}v_{n}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}v_{2}+...+ \lambda_{n}v_{n} [/mm] Durch Ausmutliplizieren und Umsortieren ergibt sich:
[mm] \lambda_{1}a_{1}v_{1} [/mm] + [mm] (\lambda_{1}a_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{2})v_{2} [/mm] + [mm] (\lambda_{1}a_{3} [/mm] + [mm] \lambda{3})v_{3}+....+(\lambda_{1}a_{n} [/mm] + [mm] \lambda_{n})v_{n}.
[/mm]
Da [mm] v_{1},...v_{n} [/mm] nach Voraussetzung linear unabhängig sind, muss gelten:
[mm] \lambda_{1}a_{1}v_{1} [/mm] + [mm] (\lambda_{1}a_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{2})v_{2} [/mm] + [mm] (\lambda_{1}a_{3} [/mm] + [mm] \lambda{3})v_{3}+....+(\lambda_{1}a_{n} [/mm] + [mm] \lambda_{n})v_{n} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (triviale Darstellung der 0)
[mm] \lambda_{1}a_{1} [/mm] = 0 [mm] \gdw \lambda_{1} [/mm] = 0 oder [mm] a_{1} [/mm] = 0
[mm] \lambda_{1}a_{2}+\lambda_{2} [/mm] = 0 [mm] \gdw a_{2} [/mm] = - [mm] \bruch{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}
[/mm]
.
.
.
[mm] \lambda_{1}a_{n} [/mm] + [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0 [mm] \gdw a_{n} [/mm] = [mm] -\bruch{\lambda_{n}}{\lambda_{1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1} \not= [/mm] 0 und [mm] a_{1} [/mm] = 0. (als notwendige Bedingung, damit die Vektoren linear unabhängig sind)
Nur frage ich mich, ob ich irgendwo einen Fehler gemacht habe. Denn mir ist nun die hinreichende Bedingung nicht ganz klar. Meiner Meinung nach müsste noch gelten, dass [mm] v_{1} \in Spann(v,v_{2},...,v_{n}).
[/mm]
Nur da ich [mm] a_{1} [/mm] = 0 gesetzt habe und alle anderen Vektoren [mm] v_{2},...v_{n} [/mm] linear unabhängig von [mm] v_{1} [/mm] sind, weiß ich nicht, wie man das erreichen soll. Oder ist man hier schon fertig, weil er irgendwie "automatisch" drin liegt und ich etwas übersehen habe?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Freundliche Grüße
Milili
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> Es sei B [mm]=(v_{1}, ...v_{n})[/mm] eine Basis des K- VRs V und v =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}[/mm] ein Vektor aus V. Bestimmen
> Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an v, damit
> (v, [mm]v_{2},...,v_{n})[/mm] eine Basis von V ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die gesuchte Bedingung ist [mm] "a_1\not=0".
[/mm]
> Lineare Unabhängigkeit besteht dann, wenn es eine triviale
> Darstellung der Null gibt.
Die gibt es immer, egal ob abhängig oder nicht.
Bei Unabhängigkeit ist die triviale Darstellung der Null die einzige Möglichkeit, die Null darzustellen.
> Dazu habe ich mir folgendes überlegt:
>
> [mm]\lambda_{1}v[/mm] + [mm]\lambda_{2}v_{2}[/mm] + [mm]\lambda_{3}v_{3}[/mm] + ....+
> [mm]\lambda_{n}v_{n}[/mm] =
> [mm]\lambda_{1}* (a_{1}v_{1}[/mm] + [mm]a_{2}v_{2}[/mm] +
> [mm]a_{3}v_{3}+...+a_{n}v_{n})[/mm] + [mm]\lambda_{2}v_{2}+...+ \lambda_{n}v_{n}[/mm]
> Durch Ausmutliplizieren und Umsortieren ergibt sich:
>
> [mm]\lambda_{1}a_{1}v_{1}[/mm] + [mm](\lambda_{1}a_{2}[/mm] +
> [mm]\lambda_{2})v_{2}[/mm] + [mm](\lambda_{1}a_{3}[/mm] +
> [mm]\lambda{3})v_{3}+....+(\lambda_{1}a_{n}[/mm] +
> [mm]\lambda_{n})v_{n}.[/mm]
>
> Da [mm]v_{1},...v_{n}[/mm] nach Voraussetzung linear unabhängig
> sind, muss gelten:
>
> [mm]\lambda_{1}a_{1}v_{1}[/mm] + [mm](\lambda_{1}a_{2}[/mm] +
> [mm]\lambda_{2})v_{2}[/mm] + [mm](\lambda_{1}a_{3}[/mm] +
> [mm]\lambda{3})v_{3}+....+(\lambda_{1}a_{n}[/mm] + [mm]\lambda_{n})v_{n}[/mm]
> = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] (triviale Darstellung der 0)
==>
[mm]\lambda_{1}a_{1}[/mm] = 0 und
[mm]\lambda_{1}a_{2}+\lambda_{2}[/mm] = 0
[mm] \vdots
[/mm]
[mm]\lambda_{1}a_{n}[/mm] + [mm]\lambda_{n}[/mm] = 0
1.Fall: [mm] a_1\not=0 [/mm]
Dann ist [mm] \lambda_1=0 [/mm] und somit auch [mm] \lambda_2=...=\lambda_n=0.
[/mm]
Für diesen Fall ist (v, [mm] v_2,...,v_n) [/mm] also linear unabhängig.
2.Fall: [mm] a_1=0.
[/mm]
Dann gibt es eine nichttriviale Darstellung der Null, z.B. mit
[mm] \lambda_1=1, \lambda_2=-a_2, [/mm] ..., [mm] \lambda_n=-a_n.
[/mm]
In diesem Fall sind die Vektoren also linear abhängig.
---
Nach diesen Überlegungen steht die Idee für das, was genau zu zeigen ist:
(v, [mm] v_2, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] ist Basis [mm] \gdw a_1\not=0 [/mm] .
Mach jetzt einen schönen Beweis hierfür, beide Richtungen!
Gruß v. Angela
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