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| Aufgabe | | Überprüfen Sie, dass B := { [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 3},\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] } eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mein ansatz war der folgende: a1 * [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 3} [/mm] + a2 * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + a3 * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow [/mm] a1 = a2 = a3 = 0.
das gleichungssystem dann gelöst:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 } \to \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a1 = a2 = a3 = 0 und fertig.
meine frage: ist die lösung korrekt? denn in der musterlösung werden die basisvektoren als zeilen und nicht als spalten einer matrix geschrieben um zu schauen ob sie linear unabhängig sind. :3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
deine Lösung ist korrekt. Die letzte Zeile hättest du dir auch "sparen" können.
Du hast dein Gleichungssystem aufgelöst, und siehst, dass alle Koeffizienten gleich Null sein müssen, damit die Linearkombination 0 ergibt, d.h. die Vektoren sind lin. unabhängig, und da es drei Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] sind, bilnen sie eine Basis.
Du hättest genausogut elementare Spaltenumformungen machen können, denn es gibt einen Satz, der bsagt, dass Spaltenrang und Zeilenrang einer Matrix gleich sind.
LG
Kroni
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