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Hallöchen!
Habe da mal ne Frage:
Ich suche eine Basis des symmetrischen Produktes [mm] Sym^{2}V, [/mm] wobei V ein komplexer Vektorraum ist mit V = { [mm] (z_{1}, z_{2}, z_{3}) \in \IC^{3} [/mm] : [mm] z_{1} +z_{2}+z_{3} [/mm] = 0 }.
Nun gibt es folgenden allgemeinen Satz: Wenn { [mm] e_{i} [/mm] } eine Basis von V ist, dann ist { [mm] e_{i}_{1}*e_{i}_{2}* ...*e_{i}_{n} [/mm] : [mm] i_{1} \le i_{2} \le...\le i_{n} [/mm] } eine Basis von [mm] Sym^{n}V.
[/mm]
Nun ist für mein gegebenes V wie oben definiert eine Basis gegeben durch { [mm] \alpha, \beta [/mm] } = { (w, 1, [mm] w^{2}), [/mm] (1, w, [mm] w^{2}) [/mm] } mit w = [mm] e^{2*\pi*i / 3}
[/mm]
Dann müsste ja irgendwie ne Basis von [mm] Sym^{2}V [/mm] gegeben sein durch { [mm] e_{i}_{1}*e_{i}_{2} :i_{1} \le i_{2} [/mm] }. Nur iregndwie kann ich das nicht auf meine gegebene Basis { [mm] \alpha, \beta [/mm] } anwenden, komme mit den Indizes nicht klar. Was ist mit den [mm] e_{i}_{1}*e_{i}_{2} [/mm] hier gemeint? Wie kann ich das übertragen?
Ach ja: die 1 und die 2 sollen Indizes von i sein, hat nicht mit dem Aufschreiben geklappt.
VlG!!!
Sinchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Eine Basis von [mm] $Sym^2(V)$ [/mm] wird durch die drei symmetrisierten Tensoren
[mm] $(w,1,w^2) \cdot (w,1,w^2)$,
[/mm]
[mm] $(w,1,w^2) \cdot (1,w,w^2)$,
[/mm]
[mm] $(1,w,w^2)\cdot (1,w,w^2)$
[/mm]
gegeben.
Dies stimmt auch mit
[mm] $dim(Sym^2(V)) [/mm] = [mm] {\dim(V) + 2-1 \choose 2} [/mm] = {3 [mm] \choose [/mm] 2} = 3$
überein...
Liebe Grüße
Julius
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Ok, danke! Aber wieso wird die Basis durch diese Tensoren gegeben? Wie hängt das zusammen?? Mit der Dimension, das ist mir klar, daher auch 3 Basisvektoren.
Und ganz allgemein, wie geht das da? Das ist mir nicht wirklich klar....
z.B., die Dimension von [mm] Sym^{3} [/mm] ist dann ja [mm] \vektor{4\\3} [/mm] = 4, d.h., dann muss die basis vier Vektoren enthalten. geht das dann auch wieder über das tensorprodukt mit Tensoren? In dem Buch, das ich hab, wird noch in Bezug auf symmetrische Produkte was über vektoren von der Form [mm] \alpha [/mm] v [mm] \beta [/mm] gesagt.
Bin sehr verwirrt, würde gerne das allgemeine Prinzip verstehen...das bringt für das Verständnis einfach am meisten.
LG,
Sinchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Di 18.10.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Sinchen2306,
> Aber wieso wird die Basis durch diese Tensoren gegeben? Wie hängt das zusammen?? Mit der Dimension, das ist mir klar, daher auch 3 Basisvektoren.
Den entscheidenden Satz hast Du ja schon ganz richtig zitiert.
In Deinem Fall hattest Du eine zweielementige Basis [mm] $\{\alpha,\beta\}$. [/mm] Wenn Du hierbei [mm] $e_1:=\alpha$, $e_2:=\beta$ [/mm] setzt (Du kannst es aber auch problemlos umgekehrt machen!!), sind die drei durch den Satz gegebenen Basisvektoren [mm] $e_1 [/mm] * [mm] e_1$, $e_1 [/mm] * [mm] e_2$, $e_2 [/mm] * [mm] e_2$ [/mm] (die 4. Kombination [mm] $e_2 [/mm] * [mm] e_1$ [/mm] entfällt wegen der Bedingung [mm] $i_1\le i_2$) [/mm] gerade die von Julius gegebenen Vektoren.
> Und ganz allgemein, wie geht das da? Das ist mir nicht wirklich klar....
Im allgemeinen Fall lautet der entsprechende Satz:
Ist [mm] \{e_i\} [/mm] eine Basis von $V$, dann ist eine Basis von $Sym^kV$ durch [mm] $\{e_{i_1}* e_{i_2}* \dots * e_{i_k}\,|\, i_1\le i_2\le\dots\le i_k\}$ [/mm] gegeben.
> z.B., die Dimension von [mm]Sym^{3}[/mm] ist dann ja [mm]\vektor{4\\3}[/mm] = 4, d.h., dann muss die basis vier Vektoren enthalten.
Völlig korrekt. Die allgemeine Formel für die Anzahl der Besisvektoren der genannten Form lautet [mm] $\dim Sym^kV=\vektor{n+k-1\\ k}$, [/mm] mit [mm] $n:=\dim [/mm] V$.
In Deinem Fall mit n=2 und k=3 also [mm] $\dim Sym^3V=\vektor{4\\ 3}=4$. [/mm] Die entsprechenden Basisvektoren sind hier [mm] $e_1* e_1* e_1*e_2$, $e_1* e_1* e_2* e_2$, $e_1* e_2* e_2* e_2$, $e_2* e_2* e_2* e_2$.
[/mm]
> In dem Buch, das ich hab, wird noch in Bezug auf symmetrische Produkte was über vektoren von der Form [mm]\alpha[/mm] v [mm]\beta[/mm] gesagt.
Bei der von Dir angesprochenen Notation würde ich mal vermuten, daß sie die "unsymmetrisierten" Tensoren darstellen, also das was in der Wikipedia (unter "Tensor") mit [mm] $\alpha \otimes \beta$ [/mm] bezeichnet wird. Wenn das stimmt, müßte gemäß Deines Buches [mm] $e_1 *e_2=\frac12(e_1\vee e_2\,+\,e_2\vee e_1)$ [/mm] gelten.
Der erwähnte "Tensor"-Artikel in der Wikipedia könnte Dir in Hinblick auf das allgemeine Prinzip vielleicht auch weiterhelfen.
Grüße,
Galois
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Di 18.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo ihr beiden!
Tut mir leid, wenn ich euch verwirrt habe. Es stimmt schon, dass es nicht die "normalen" Tensoren sind, sondern die symmetrisierten.
Ich ändere meine Notation wohl besser jetzt mal (im Nachhinein), damit es nicht auch spätere Leser verwirrt.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Di 18.10.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Julius,
> Ich ändere meine Notation wohl besser jetzt mal (im
> Nachhinein), damit es nicht auch spätere Leser verwirrt.
Na, das werde ich dann wohl auch mal machen, damit der Bezug stimmt.
Grüße zurück,
Galois
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