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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:57 So 15.06.2008 | | Autor: | quest |
Hallo!
Ich habe keine konkrete Aufgabe zu lösen, sondern verstehe einen Induktionsbeweis nicht wirklich.
Dieser ist aber sehr elementar...ich hoffe, dass ich da nur die technische Umsetzung nicht verstehe. Der Beweis ist relativ "holprig".
Also der Satz lautet:
Sei V ein Vektorraum, der von n Elementen erzeugt wird. Dann sind je n+1 Vektoren aus V linear abhängig.
Beweis:
Sei V = [mm] . [/mm] Beweis per Induktion nach n.
Für n = 0 ist V= {0} und die Behauptung folgt, da der Nullvektor linear abhängig ist.
Den Induktionsanfang verstehe ich.
Jetzt betrachte ich:
V = < [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_{n+1} [/mm] > und [mm] w_1, [/mm] ... , [mm] w_{n+2} \in [/mm] V beliebig vorgegeben. Die [mm] w_i [/mm] sind also meine n+2 Vektoren aus V, das mit n+1 Vektoren erzeugt wird.
Der Prof hat die Induktionsannahme nicht explizit hingeschrieben. Aber ich nehme mal an, diese lautet, dass die Aussage für n stimmt.
Nun setzt er: U := [mm] \leq [/mm] V. Dann kann ich die [mm] w_i [/mm] darstellen als:
[mm] w_i [/mm] = [mm] u_i [/mm] + [mm] k_i v_{n+1} [/mm] mit [mm] u_i \in [/mm] U und [mm] k_i \in [/mm] K für i=1,...,n+2.
Ist [mm] k_i [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i, dann sind alle [mm] w_i \in [/mm] U und die Behauptung folgt mit der Induktionshypthese. Ich denke, auch das hab ich verstanden.
Nun "die anderen Fälle": sei o.B.d.A. [mm] k_{n+2} \neq [/mm] 0. Das o.B.d.A ist mir nicht klar! Ich sag jetzt also, ich hab ein [mm] k_i \neq [/mm] 0. D.h. in dem Fall ist
U := [mm] [/mm] < V also nicht [mm] \leq. [/mm] Stimmt das?
Wir setzen nun:
[mm] w_i' [/mm] := [mm] w_i [/mm] - [mm] k_i (k_{n+2})^{-1} w_{n+2} [/mm] für i = 1,..., n+1.
Dann gilt:
[mm] w_i' [/mm] = [mm] (u_i [/mm] + [mm] k_i v_{n+1} [/mm] - [mm] k_i (k_{n+2})^{-1} w_{n+2} [/mm] = [mm] u_i [/mm] - [mm] k_i (k_{n+2})^{-1} u_{n+2} \in [/mm] U.
Das verstehe ich auch noch einigermaßen. Da wird quasi [mm] w_i [/mm] = [mm] u_i [/mm] + [mm] k_i v_{n+1} [/mm] entsprechend eingesetzt.
Aufgrund der Induktionshypothese existieren [mm] l_1,...,l_{n+1} \in [/mm] K wobei nicht alle [mm] l_i [/mm] = 0 sind, sodass
0 = [mm] \summe_{i=1}^{n+1}{l_i w_i'} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1}{l_i w_i} [/mm] - ( [mm] \summe_{i=1}^{n+1} l_i k_i (k_{n+2})^{-1}) w_{n+2}.
[/mm]
Dies liefert die Behauptung.
Ich weiß nun nicht, ob ich den Trick richtig verstehe. Diese [mm] w_i' [/mm] haben die Eigenschaft, dass sie in U liegen. Es sind n+1 Stück. Damit können sie nicht l.u. sein, denn U wird von n-Vektoren erzeugt (Induktionsannahme).
Ich versteh das nun einfach nicht, da V = [mm] [/mm] also von n+1 Vektoren erzeugt wird. Hier hantier ich aber mit nur n+1 ausgewählten Vektoren und dem Unterraum U herum...das will mir nicht wirklich einleuchten.
Ich hoffe, jemand kann mir ein wenig zum Verständnis helfen!
Grüße und dank und einen schönen Sonntag abend!
Edit: das hatte ich vorhin vergessen: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 16.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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