Basis im Dualraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | geg: [mm] V=\{f \in \IR(x)|Grad(f) \le 3\} [/mm] = [mm] \IR [/mm] - Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3. Durch
[mm] \delta1(f) [/mm] = f(1), [mm] \delta2(f) [/mm] = f'(1)
[mm] \delta3(f) [/mm] = f(-1), [mm] \delta4(f) [/mm] = f'(-1)
werden Linearformen [mm] \deltai [/mm] : V -> [mm] \IR [/mm] definiert (f' = Ableitung von f)
a)Zeige, dass [mm] \delta1,...,\delta4 [/mm] Basis des Dualraums V* von V bilden
b) duale Basis von V bestimmen |
Hallo
wie gehe ich da genau vor? was muss ich da machen?
und ich weiß auch nicht wie ich die Basis aufstellen soll
Danke schon mal im Voraus
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> geg: [mm]V=\{f \in \IR(x)|Grad(f) \le 3\}[/mm] = [mm]\IR[/mm] - Vektorraum
> der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3. Durch
> [mm]\delta1(f)[/mm] = f(1), [mm]\delta2(f)[/mm] = f'(1)
> [mm]\delta3(f)[/mm] = f(-1), [mm]\delta4(f)[/mm] = f'(-1)
> werden Linearformen [mm]\deltai[/mm] : V -> [mm]\IR[/mm] definiert (f' =
> Ableitung von f)
> a)Zeige, dass [mm]\delta1,...,\delta4[/mm] Basis des Dualraums V*
> von V bilden
> b) duale Basis von V bestimmen
> Hallo
>
> wie gehe ich da genau vor? was muss ich da machen?
> und ich weiß auch nicht wie ich die Basis aufstellen soll
Hallo,
Deine Lösungsansätze sind mager. Wie weit bist Du denn gekommen?
Weißt Du, was Linearformen sind? Was der Dualraum eines Vektorraumes ist?
Die Dimension von V* ist gleich der Dimension von V.
Damit steht doch der Plan: Du mußt zeigen, daß die Abbildungen [mm] \delta_1,..., \delta_4 [/mm] linear unabhängig sind.
Du könntest das tun, indem Du zunächst ihre Darstellungsmatrizen aufstellst.
zu Aufg. b) Hast Du die wirklich 1:1 abgeschrieben?
Gruß v. Angela
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Danke für die Antwort;
die a) habe ich auch mittlerweile hin bekommen aber ich weiß weder was ein dualraum ist noch wie ich die Basis davon bestimme,
mehr steht in der angabe nicht drin; ist zwar nich 1:1 aber sinngemäß wiedergegeben;
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> Danke für die Antwort;
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> die a) habe ich auch mittlerweile hin bekommen aber ich
> weiß weder was ein dualraum ist noch wie ich die Basis
> davon bestimme,
> mehr steht in der angabe nicht drin; ist zwar nich 1:1
> aber sinngemäß wiedergegeben;
Hallo,
steht da nicht vielleicht eher, daß Du die zu [mm] \green{B=(1,x,x^2, x^3)} [/mm] duale Basis des [mm] V^{\green{\*}} [/mm] bestimmen sollst oder ähnliches.
So wie Du schreibst, kann ich mir nix drunter vorstellen.
Vielleicht machst Du Dich erstmal schlau, was der Dualraum überhaupt ist, welches seine Elemente sind, wie groß seine Dimension ist.
Auch die Def. für duale Basis erstmal herbeten zu können, ist kein Nachteil.
Zusammen mit dem Aufgabentext kannst Du ja gleich Deine neuen Erkenntnisse und Fragen posten.
Gruß v. Angela
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In der Angabe steht wörtlich Bestimme die dazu duale Basis von V;
ist jetz auch nicht unbedingt anders ausgedrückt als ich, denk ich
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Wenn jetzt die Standardbasis von V gemeint ist, dann besteht doch die duale Basis aus den vier Linearformen:
[mm] \alpha_1: [/mm] (1 0 0 0)x
[mm] \alpha_2: [/mm] (0 1 0 0)x
[mm] \alpha_3: [/mm] (0 0 1 0)x
[mm] \alpha_4: [/mm] (0 0 0 1)x
denn [mm] \alpha_i(e_j)=\delta_{ij}
[/mm]
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> Wenn jetzt die Standardbasis von V gemeint ist, dann
> besteht doch die duale Basis aus den vier Linearformen:
>
> [mm]\alpha_1:[/mm] [mm] \red{x \mapsto} [/mm] (1 0 0 0)x
> [mm]\alpha_2:[/mm][mm] \red{x \mapsto} [/mm] (0 1 0 0)x
> [mm]\alpha_3:[/mm] [mm] \red{x \mapsto} [/mm] (0 0 1 0)x
> [mm]\alpha_4:[/mm] [mm] \red{x \mapsto} [/mm] (0 0 0 1)x
>
> denn [mm]\alpha_i(e_j)=\delta_{ij}[/mm]
Halloo,
ja, die von Dir angegebenen Matrizen wären dann die darstellenden Matrizen der [mm] a_i [/mm] bzgl der kanonischen Basis des VR der Polynome vom Höchstgrad 3 (und der Basis (1) im Zielraum [mm] \IR.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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> In der Angabe steht wörtlich Bestimme die dazu duale Basis
> von V;
> ist jetz auch nicht unbedingt anders ausgedrückt als ich,
> denk ich
Hallo,
doch, ich kapiere jetzt nämlich, was man tun soll:
man soll die zu [mm] B=(\delta_1,..., \delta_4) [/mm] duale Basis von V finden.
Das "wozu" fehlte mir zuvor.
Gruß v. Angela
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Das wird es wohl sein. Also ich habe mir hier die Darstellungsmatrizen der Linearformen [mm] \delta_i [/mm] als Zeilen in eine Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 1 & 0}
[/mm]
Für die Aufgabe a) müsste ich den Rang prüfen. Bei Rang 4 bilden sie eine Basis von V*.
b) Nun bilde ich die inverse Matrix. Sind dann die Spaltenvektoren die Basisvektoren von V?
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> Das wird es wohl sein. Also ich habe mir hier die
> Darstellungsmatrizen
Hallo,
die habe ich nicht kontrolliert.
> der Linearformen [mm]\delta_i[/mm] als Zeilen
> in eine Matrix geschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 1 & 0}[/mm]
>
> Für die Aufgabe a) müsste ich den Rang prüfen. Bei Rang 4
> bilden sie eine Basis von V*.
Genau.
>
> b) Nun bilde ich die inverse Matrix. Sind dann die
> Spaltenvektoren die Basisvektoren von V?
Ja. (Du Dich kannst ja, wenn Du's ausgerechnet hast, davon überzeugen, daß die beiden basen wirklich dual sind.)
Gruß v. Angela
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