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| Aufgabe | | Finden Sie eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] , die eine Basis des Lösungsraums der Gleichung x + y - 2z = 0 enthält. |
Eine Basis ist ja ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Aber ich bräuchte mal den ersten Ansatz, damit ich weitermachen kann.
Ich hänge hier...
Vielen Dank!
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Hi
überleg dir einfach einen Vektor (x / y / z) der deine Gleichung löst
dann hast du einen Vektor und suchst dir noch 2 zu diesem Vektor linear unabhängige Vektoren
gruß
Stephen
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Heißt das soviel wie:
Ich muss für x einen Vektor schreiben , für y und für z?
Also:
[mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] + [mm] \vektor{x1 \\ y2 \\ z2} [/mm] - 2 [mm] \vektor{x3 \\ y3 \\ z3} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] ??
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> Heißt das soviel wie:
> Ich muss für x einen Vektor schreiben , für y und für z?
>
> Also:
> [mm]\vektor{x \\ y \\z}[/mm] + [mm]\vektor{x1 \\ y2 \\ z2}[/mm] - 2
> [mm]\vektor{x3 \\ y3 \\ z3}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm] ??
Hallo,
nein.
Du möchtest wissen, welche Vektoren [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] so beschaffen sind, daß sie die Gleichung x + y - 2z = 0 lösen.
Die Gesamtheit dieser Vektoren bildet einen UVR von [mm] \IR^3, [/mm] den Lösungsraum dieser Gleichung. Von diesem benötigst Du eine Basis, die Du dann später zu einer des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen kannst.
Welches sind denn die Lösungen dieser Gleichung?
Gruß v. Angela
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> Du möchtest wissen, welche Vektoren [mm]\vektor{x\\y\\z}[/mm] so
> beschaffen sind, daß sie die Gleichung x + y - 2z = 0
> lösen.
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> Die Gesamtheit dieser Vektoren bildet einen UVR von [mm]\IR^3,[/mm]
> den Lösungsraum dieser Gleichung. Von diesem benötigst Du
> eine Basis, die Du dann später zu einer des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen
> kannst.
>
> Welches sind denn die Lösungen dieser Gleichung?
also wenn ich schätzen müsste, würde ich sagen, dass der Vektor
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] oder [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm] oder [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
sofern x=y=z ist, stimmt die Gleichung....
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also wie angela mich vorhin schon berichtigt hat, musst du dir 2 Linear Unabhängige Vektoren suchen, die diese Gleichung lösen.
(1/1/1) hast du schon gefunden;
der Nullvektor ist ja deine triviale lösung, mit der kannst du keinen Unterraum aufspannen.
also praktisch [mm] \lambda [/mm] *(1/1/1) mit [mm] \lamdba \in \IR [/mm] löst dein Gleichungssystem; (-1/-1/-1) ist ja schon Element dieses Untervektorraumes
es gibt aber noch andere Lösungen und diese spannen, wie Angela es ja schon gesagt hat einen Untervektorraum vom [mm] \IR^{3} [/mm] auf.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:39 Do 20.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Und wie gehts dann weiter?
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> > Du möchtest wissen, welche Vektoren [mm]\vektor{x\\y\\z}[/mm] so
> > beschaffen sind, daß sie die Gleichung x + y - 2z = 0
> > lösen.
> >
> > Die Gesamtheit dieser Vektoren bildet einen UVR von [mm]\IR^3,[/mm]
> > den Lösungsraum dieser Gleichung. Von diesem benötigst Du
> > eine Basis, die Du dann später zu einer des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen
> > kannst.
> >
> > Welches sind denn die Lösungen dieser Gleichung?
>
> also wenn ich schätzen müsste,
Hallo,
das Schätzen können wir getrost anderen überlassen.
Das kann man nämlich ausrechnen, da brauchen wir weder zu schätzen, noch im Kaffesatz nachzuschauen.
Ich bekomme nun das ganz trübe Gefühl, daß Du das überhaupt nicht kannst, und deshalb mache ich es Dir mal vor:
Wir haben hier eine einzige Gleichung mit drei Variablen.
Das bedeutet, daß wir zwei variablen frei wählen können, sofern wir die dritte dann genau passend wählen.
Wählen wir
z=t , wobei t irgendeine reelle Zahl ist,
y=s, wobei sirgendeine reelle Zahl ist,
und wählen wir x= -y+2z= -s-2t, so löst
[mm] \vektor{ -s-2t, s,t} [/mm] für sämtliche s,t [mm] \in \IR [/mm] die Gleichung. Probier's mal für 10 Vektoren aus.
Wir wissen also, daß alle Lösungen [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{ -s-2t, s,t} =s*\vektor{-1, 1,0} [/mm] + [mm] t*\vektor{-2, 0,1} [/mm] haben.
Damit wird der Lösungsraum von den linear unabhängigen Vektoren [mm] \vektor{-1, 1,0},\vektor{-2, 0,1} [/mm] erezugt, sie sind somit eine basis des Lösungsraumes.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Do 20.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Jupp,
du liegst komplett richtig, dass ich das nicht verstehe.
Ich denke, ich werde das Fach wechseln...
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:02 Do 20.11.2008 | | Autor: | angela.h.b. |
> Hi
>
> überleg dir einfach einen Vektor (x / y / z) der deine
> Gleichung löst
>
> dann hast du einen Vektor und suchst dir noch 2 zu diesem
> Vektor linear unabhängige Vektoren
>
> gruß
> Stephen
Hallo,
nein, das ist nicht weit genug gedacht.
Es ist nicht damit getan, einen Vektor zu suchen, der die Gleichung löst, denn der Lösungsraum dieser Gleichung wird von zwei Vektoren aufgespannt, man hat ja zwei freie Variable.
Man braucht also eine Basis des Gleichungssystems, und nicht nur einen Lösungsvektor.
Gruß v. Angela
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