Basis ergänzen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Di 28.02.2012 | | Autor: | ehaefner |
| Aufgabe | Im reellen Vektorraum [mm] \IR^4 [/mm] seien die drei Vektoren
[mm] v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} ,
v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} ,
v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm]
gegeben. Weiter sei [mm] V = v_1, v_2, v_3 \subseteq \IR^4 [/mm] der von diesen Vektoren aufgespannte Unterraum.
a) Zeigen Sie, dass v1, v2 eine Basis von V ist und stellen Sie v3 als Linearkombination von v1 und v2 dar.
b) Ergänzen Sie v1, v2 zu einer Basis von [mm] \IR^4 [/mm].
c) Bestimmen Sie (bezüglich des Standardskalarprodukts auf [mm] \IR^4 [/mm] eine Orthonormalbasis
für das orthogonale Komplement von V in [mm] \IR^4 [/mm]. |
Das ist eine Aufgabe aus dem Staatsexamen von 2007.
Also a) war gar kein Problem.
Das Ergebnis der Umformungen war folgendes:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] Damit weiß ich, v1 und v2 sind linear unabhängig und [mm] v_3 = 3*v_1-2*v_2 [/mm]
Bei b) dachte ich dann ich kann als Begründung den Basisergänzungssatz nehmen und die Einheitsvektoren [mm] e_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] e_4 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] wählen, da man ja mit a) erkennt dass die dann zu v1 und v2 linear unabhängig sind und ich somit eine Basis habe.
Dann habe ich aber meine Lösung mit der Musterlösung verglichen und der Dozent hat es ganz anders, und für mich völlig unverständlich begründet. Und zwar wie folgt: Für
[mm] C= (v_1, v_2, e_1, e_2) \in \IR^(4x4) [/mm] gilt:
[mm]
det(C)=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1 \\
3 & 2 & 0 & 0 \\
4 & 3 & 0 & 0
\end{vmatrix} [/mm] = ... (Die Berechnung spar ich mir hier) [mm] =1 \not= 0 [/mm] . Damit ist die Matrix invertierbar und die Spalten bilden eine Basis.
Muß ich das so begründen? Er meint ja sicher damit, dass eine invertierbare Matrix vollen Rang besitzt und somit alle Vektoren linear unabhängig sind und somit eine Basis bilden, oder? Geht meine Begründung nicht? Wäre schön wenn mir da jemand weiterhelfen würde!
c) war wieder kein Problem...
Schon mal vielen Dank!
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> Im reellen Vektorraum [mm]\IR^4[/mm] seien die drei Vektoren
> [mm]v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\
2 \\
3 \\
4 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\
2 \\
2 \\
3 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\
2 \\
5 \\
6 \end{pmatrix} [/mm]
>
> gegeben. Weiter sei [mm]V = v_1, v_2, v_3 \subseteq \IR^4[/mm]
> der von diesen Vektoren aufgespannte Unterraum.
> a) Zeigen Sie, dass v1, v2 eine Basis von V ist und
> stellen Sie v3 als Linearkombination von v1 und v2 dar.
> b) Ergänzen Sie v1, v2 zu einer Basis von [mm]\IR^4 [/mm].
> c)
> Bestimmen Sie (bezüglich des Standardskalarprodukts auf
> [mm]\IR^4[/mm] eine Orthonormalbasis
> für das orthogonale Komplement von V in [mm]\IR^4 [/mm].
>
>
> Das ist eine Aufgabe aus dem Staatsexamen von 2007.
> Also a) war gar kein Problem.
> Das Ergebnis der Umformungen war folgendes:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> Damit weiß ich, v1 und v2 sind linear unabhängig und [mm]v_3 = 3*v_1-2*v_2[/mm]
>
> Bei b) dachte ich dann ich kann als Begründung den
> Basisergänzungssatz nehmen und die Einheitsvektoren [mm]e_3 \begin{pmatrix} 0 \\
0 \\
1 \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]e_4 \begin{pmatrix} 0 \\
0 \\
0 \\
1 \end{pmatrix}[/mm]
> wählen, da man ja mit a) erkennt dass die dann zu v1 und
> v2 linear unabhängig sind und ich somit eine Basis habe.
Hallo,
der Basisergänzungssatz sagt Dir, daß Du durch zwei geeignetet Einheitsvektoren zu einer Basis [mm] des\IR^4 [/mm] ergänzen kannst.
Daß [mm] e_3 [/mm] und [mm] e_4 [/mm] passende ergänzende Vektoren sind, muß begründet werden.
Dieses "man erkennt mit a)" müßtest Du etwas genauer ausführen.
Wenn Du dies tust, also begründest, daß die 4 linear unabhängig sind, bist Du fertig.
Du könntest z.B. die Matrix [mm] (v_1, v_2, e_3, e_4) [/mm] auf ZSF bringen und sagen: der Rang=4, also 4 linear unabhängige Spalten.
>
> Dann habe ich aber meine Lösung mit der Musterlösung
> verglichen und der Dozent hat es ganz anders, und für mich
> völlig unverständlich begründet. Und zwar wie folgt:
> Für
>
> [mm]C= (v_1, v_2, e_1, e_2) \in \IR^(4x4)[/mm] gilt:
>
> [mm]det(C)= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1 \\
3 & 2 & 0 & 0 \\
4 & 3 & 0 & 0 \end{vmatrix} [/mm]
> = ... (Die Berechnung spar ich mir hier) [mm]=1 \not= 0[/mm] . Damit
> ist die Matrix invertierbar und die Spalten bilden eine
> Basis.
>
> Muß ich das so begründen?
Nein. Wie Du es begründest, ist schnuppe.
LG Angela
> Er meint ja sicher damit, dass
> eine invertierbare Matrix vollen Rang besitzt und somit
> alle Vektoren linear unabhängig sind und somit eine Basis
> bilden, oder? Geht meine Begründung nicht? Wäre schön
> wenn mir da jemand weiterhelfen würde!
>
> c) war wieder kein Problem...
>
> Schon mal vielen Dank!
>
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