Basis eines Vektorraumes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass [mm] b_1, b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] darstellen.
[mm] b_1, b_2, b_3\in\IR^3
[/mm]
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Hallo.
Kann mir jemand sagen, wie ich beweise, dass gegebene Vektoren eine Basis darstellen? Die beiden Regeln, die ich kenne sind
1. sie müssen linear unabhängig sein
2. jedes Element aus dem Vektorraum (hier [mm] \IR^3) [/mm] muss durch eine Linearkombination der Basisvektoren darstellbar sein.
zu 1.: das ist kein Problem
zu 2.: wie beweise ich das???
Ich danke euch
Gruß miniscout ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 03.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da es im [mm] R^3 [/mm] nie mehr als 3 lin. unabh. Vektoren gibt, musst du das zweite gar nicht beweisen, wenn du die lin. Unabhängigkeit hast.
Die maximalzahl der lin unabh. Vektoren bestimmt die Dimension des VR!
Gruss leduart
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Dankeschön!
Heißt das, wenn drei Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] linear unabhängig sind, sind alle Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] durch eine Linearkombination der drei Vektoren darstellbar?
Danke und liebe Grüße,
miniscout
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Sa 03.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo miniscout,
> Heißt das, wenn drei Vektoren aus [mm]\IR^3[/mm] linear unabhängig
> sind, sind alle Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] durch eine
> Linearkombination der drei Vektoren darstellbar?
genau das heisst es!
(Der Beweis ist uebrigens recht einfach, fuer den Fall das es dich interessiert schreib ich ihn mal mit auf. Sagen wir mal [mm] $v_1, \dots, v_3 \in \IR^3$ [/mm] sind linear unabhaengig und [mm] $v_4$ [/mm] ist ein weiterer Vektor. Dann sind [mm] $v_1, \dots, v_3, v_4$ [/mm] nach Voraussetzung linear abhaengig, es gibt also Zahlen [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_4 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^4 \lambda_i v_i [/mm] = 0$, und die [mm] $\lambda_i$ [/mm] sind nicht alle 0. Wenn [mm] $\lambda_4 [/mm] = 0$ ist, dann haben wir schon eine nicht-triviale Linearkombination der [mm] $v_1, \dots, v_3$, [/mm] ein Widerspruch dazu dass diese linear unabhaengig sind. Also ist [mm] $\lambda_4 \neq [/mm] 0$ und [mm] $v_4 [/mm] = [mm] -\frac{1}{\lambda_4} \sum_{i=1}^3 \lambda_i v_i$ [/mm] darstellbar durch [mm] $v_1, \dots, v_3$.)
[/mm]
LG Felix
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