Basis eines Unterraums < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Folgende Vektoren des [mm] \IR^4 [/mm] sind gegeben:
[mm] v_1=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}, v_2=\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, v_3=\vektor{0 \\ -1 \\ 3 \\ 2}, v_4=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, v_5=\vektor{2 \\ 2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Bestimme die Basen von [mm] Lin(v_1,v_2,v_3)\cap Lin(v_4,v_5) [/mm] und [mm] Lin(v_1,v_2,v_3)+ Lin(v_4,v_5). [/mm] |
Bei dieser Aufgabe habe ich ein Problem, wo ich bisher noch nicht durchgestiegen bin:
Um den Schnitt zu ermitteln gilt gilt ja:
[mm] \lambda_1*\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}+ \lambda_2* \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}+\lambda_3*\vektor{0 \\ -1 \\ 3 \\ 2}= \mu_1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}+\mu_2*\vektor{2 \\ 2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Daraus ergibt sich dann folgendes LGS:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 & -1}
[/mm]
In Zeilenstufenform gebracht erhält man dann:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1}
[/mm]
ich erhalte den freien Parameter [mm] \mu_2=a [/mm] und [mm] \mu_1=-\bruch{a}{3}
[/mm]
[mm] V=\{\mu_1*v_4+\mu_2*v_5/ \mu_2=a , \mu_1=-\bruch{a}{3}, a\in \IR\} [/mm] = [mm] \{a*\vektor{2 \\ \bruch{5}{3} \\ -1 \\ \bruch{2}{3}}\}= \{a*\vektor{6 \\ 5 \\ -3 \\2}\}
[/mm]
also ist [mm] \vektor{6 \\ 5 \\ -3 \\2} [/mm] eine Basis von [mm] Lin(v_1,v_2,v_3)\cap Lin(v_4,v_5).
[/mm]
Könnt ihr mir erklären wie man darauf kommt? Das verstehe ich nicht. Wenn ich nach [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] umstelle, dann müsste ich ja 5 Variablen in der Basis haben.
Weiter soll ich eine Basis bestimmen von [mm] Lin(v_1,v_2,v_3)+ Lin(v_4,v_5). [/mm] Aus der Dimensionsformel erhalte ich dim(U+V)=4
kann ich dann eine beliebige Basis des [mm] \IR^4 [/mm] wählen, zum Beispiel die Standardvektoren?
Oder kann ich eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] aus den gegebenen [mm] v_1-v_5 [/mm] wählen? Oder kann ich das LGS in Zeilenstudenform bringen und die nicht Null Zeilen als Basis verwenden?
Hier bin ich mir noch sehr unsicher.
MfG
Mathegirl
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> Folgende Vektoren des [mm]\IR^4[/mm] sind gegeben:
>
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}, v_2=\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, v_3=\vektor{0 \\ -1 \\ 3 \\ 2}, v_4=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, v_5=\vektor{2 \\ 2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> Bestimme die Basen von [mm]Lin(v_1,v_2,v_3)\cap Lin(v_4,v_5)[/mm]
> und [mm]Lin(v_1,v_2,v_3)+ Lin(v_4,v_5).[/mm]
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich ein Problem, wo ich bisher noch
> nicht durchgestiegen bin:
>
> Um den Schnitt zu ermitteln gilt gilt ja:
>
> [mm]\lambda_1*\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}+ \lambda_2* \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}+\lambda_3*\vektor{0 \\ -1 \\ 3 \\ 2}= \mu_1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}+\mu_2*\vektor{2 \\ 2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann folgendes LGS:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 & -1}[/mm]
>
> In Zeilenstufenform gebracht erhält man dann:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1}[/mm]
>
> ich erhalte den freien Parameter [mm]\mu_2=a[/mm] und
> [mm]\mu_1=-\bruch{a}{3}[/mm]
>
> [mm]V=\{\mu_1*v_4+\mu_2*v_5/ \mu_2=a , \mu_1=-\bruch{a}{3}, a\in \IR\}[/mm]
> = [mm]\{a*\vektor{2 \\ \bruch{5}{3} \\ -1 \\ \bruch{2}{3}}\}= \{a*\vektor{6 \\ 5 \\ -3 \\2}\}[/mm]
>
> also ist [mm]\vektor{6 \\ 5 \\ -3 \\2}[/mm] eine Basis von
> [mm]Lin(v_1,v_2,v_3)\cap Lin(v_4,v_5).[/mm]
>
> Könnt ihr mir erklären wie man darauf kommt? Das verstehe
> ich nicht. Wenn ich nach [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] umstelle, dann
> müsste ich ja 5 Variablen in der Basis haben.
>
>
> Weiter soll ich eine Basis bestimmen von [mm]Lin(v_1,v_2,v_3)+ Lin(v_4,v_5).[/mm]
> Aus der Dimensionsformel erhalte ich dim(U+V)=4
>
> kann ich dann eine beliebige Basis des [mm]\IR^4[/mm] wählen, zum
> Beispiel die Standardvektoren?
>
> Oder kann ich eine Basis des [mm]\IR^4[/mm] aus den gegebenen
> [mm]v_1-v_5[/mm] wählen? Oder kann ich das LGS in Zeilenstudenform
> bringen und die nicht Null Zeilen als Basis verwenden?
>
> Hier bin ich mir noch sehr unsicher.
>
Diese Frage hast Du hier schon eimal gestellt.
>
> MfG
> Mathegirl
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
