Basis einer linearen Hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betsimmen Sie die Basis der linearen Hülle der folgenden Vektoren:
v1,v2,v3,v4,v5
Die Vektoren haben die Form (x1,x2,x3,x4) und sind auch explizit gegeben. Einfachheitshalber schreibe ich sie hier nicht auf. |
Ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Im Internet habe ich von Matrizen gelesen. Das hatten wir aber noch nicht in der Vorlesung.
Wir kennen nur die Definition der Basis, dass sie einen Vektorraum erzeugen und linear unabhängig sein soll.
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
[mm] v_1,...,v_5 [/mm] bilden natürlich ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle.
Bei Dir scheint es sich um einen Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] zu handeln, die Basis kann also höchstens aus 4 Vektoren bestehen.
Um eine Basis der linearen Hülle zu haben, mußt Du eine möglichst große linear unabhängige Teilmenge der 5 Vektoren finden.
Du kannst dies ohne Matrizen so tun:
Nimm [mm] v_1 [/mm] (sofern es nicht der Nullvektor ist) als ersten Basisvektor.
Prüfe, ob [mm] v_1,v_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Wenn ja, dann ist [mm] v_2 [/mm] Dein zweiter Basisvektor.
Wenn nein, fliegt [mm] v_2 [/mm] raus.
Dann schau, ob [mm] v_1, v_3 [/mm] linear unabhängig sind.
Weiter analog.
Falls Du zwei linear unabhängige Vektoren hast, nimmst Du den nächsten dazu, prüfst wieder auf lineare Unabhängigkeit und entscheidest Dich zwischen rauswerfen und behalten.
Usw., bis Du eine max. linear unabhängige Teilmenge hast.
Bei Rückfragen bitte mit konkreter Angabe der Vektoren.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank, du hast das mir prima erklärt!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 So 13.11.2011 | | Autor: | Sogge93 |
Nur eine Verständnisfrage: Wenn ich also z.B. maximal drei linear unabhängige Vektoren (z.B. 1,2,3) finde, bilden diese dann schon eine Basis, wenn ich v4 und v5 als eindeutige Linearkombination aus 1,2,3 bilden kann?
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> Nur eine Verständnisfrage: Wenn ich also z.B. maximal drei
> linear unabhängige Vektoren (z.B. 1,2,3) finde, bilden
> diese dann schon eine Basis, wenn ich v4 und v5 als
> eindeutige Linearkombination aus 1,2,3 bilden kann?
Hallo,
wenn Du 5 Vektoren [mm] v_1, ...,v_5 [/mm] gegeben hast,
Du feststellst, daß [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig,
aber [mm] (v_1, v_2, v_3,v_4) [/mm] und [mm] (v_1, v_2, v_3,v_5) [/mm] linear abhängig,
dann ist [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] eine Basis des von [mm] v_1,...,v_5 [/mm] aufgespannten Raumes.
Gruß v. Angela
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