Basis des Lösungsraums < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich habe schon gerechnet, und habe als Lösung der Gleichung Ax=b heraus:
[mm] \pmat{1&0&0&|&2\\0&1&0&|&1\\0&0&1&|&2}
[/mm]
Die Lösung des Lösungsraums [mm] L:={x\in\IR |Ax=b} [/mm] lautet dann ja [mm] L=\{\pmat{2\\1\\2}\}
[/mm]
Nun meine Frage: Wie soll ich davon eine Basis herstellen? Wenn ich eine Basis des Spaltenraums von A suche ist das ja kein Problem, oder des Nullraums. Aber so weiß ich nicht, wie ich dann diesen einen Vektor, da der Lösungsraum ja nur aus einem Vektor besteht, in Form einer Basis darstellen soll.
Denn die Basis spannt ja den Lösungsraum auf (die Vektoren sind linear unabhängig, also maximal lin unabhängig und minimal aufspannend), aber wenn ich dann den Spann davon bilde, kommen dadurch doch auch automatisch alle Linearkombinationen des Vektors in Frage...da ich hier aber eine eindeutige Lösung habe, habe ich keine Ahnung, wie ich dann eine Basis finden soll.....
Ähnlich geht es mir bei einer zweiten Matrix, wo die Lösungsmenge wie folgt aussieht: [mm] L=\{\pmat{0\\3\\0}+\lambda\pmat{-4\\-2\\1}\}
[/mm]
Wäre der Nullvektor enthalten, dann könnte man das ja umschreiben, aber da dieser hier nicht enthalten ist, weiß ich nicht, wie ich dann eine Basis dieses Lösungsraumes hinschreiben soll, denn wenn ich den Spann von den beiden Vektoren nehme, dann habe ich ja auch noch automatisch den "Stützvektor" der Geraden mit drin, so dass ich auch noch linearkombinationen von diesem wählen kann.....das macht es mir gerade irgendwie unmöglich, eine Basis zu finden.
Wäre um Hilfe dankbar.
LG
Kroni
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> Hi,
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> ich habe schon gerechnet, und habe als Lösung der Gleichung
> Ax=b heraus:
>
> [mm]\pmat{1&0&0&|&2\\0&1&0&|&1\\0&0&1&|&2}[/mm]
>
> Die Lösung des Lösungsraums [mm]L:={x\in\IR |Ax=b}[/mm] lautet dann
> ja [mm]L=\{\pmat{2\\1\\2}\}[/mm]
>
> Nun meine Frage: Wie soll ich davon eine Basis herstellen?
Hallo,
gar nicht.
Dein "Lösungsraum" ist eher eine Lösungsmenge, jedenfalls ist es kein VR aus den Gründen, die Du selbst benennst.
Es ist ein "affiner Raum", ein "verschobener" Vektorraum.
Daß die Lösungen eines LGS einen VR bilden, gilt nur für den homogenen Fall.
Im inhomogenen Fall kannst Du die Lösungsmenge L schreiben als L= (ein spezieller Vektor) + Vektorraum. (Hast Du unten ja auch getan.)
Der "spezielle Vektor" ist eine Lsg. des GSs, der "Vektorraum" die Lösung des zugehörigen homogenen Systems.
Wahrscheinlich weißt Du das längst...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich war verwirrt, weil in der Aufgabenstellung stand "Geben Sie eine explizite Darstellung (in Form einer Basis) des Lösungsraums L={x |Ax=b} an.
Gut, wenn es schon dann das ist, was ich gemacht habe, bin ich zu frieden. Ich war nur verwirrt, weil eine Basis kann ich dort ja nicht herstellen.
Nun noch eine zweite, kleine Frage: Wäre dann die Anzahl der Elemente des Lösungsraums in dem ersten Beispiel, wo der eine Vektor explizit als Lösung darsteht 1, und bei dem anderen Fall, wo auch die Linearkombination drinsteht, unendlich?
LG
Kroni
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> Nun noch eine zweite, kleine Frage: Wäre dann die Anzahl
> der Elemente des Lösungsraums in dem ersten Beispiel, wo
> der eine Vektor explizit als Lösung darsteht 1, und bei dem
> anderen Fall, wo auch die Linearkombination drinsteht,
> unendlich?
Ja.
Gruß v. Angela
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