Basis des Kerns einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage, und zwar geht es mir darum, wie ich die Basis, den Kern oder sonstiges bei einer Matrix bestimme, deren Einträge aus mehr als einer Variablen bestehen (z.B. x-2y+4z) ?
Danke
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> Hallo,
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> ich habe eine Frage, und zwar geht es mir darum, wie ich
> die Basis, den Kern oder sonstiges
Hallo,
vielleicht könntest Du "Sonstiges" noch etwas spezifizieren...
> bei einer Matrix
> bestimme, deren Einträge aus mehr als einer Variablen
> bestehen (z.B. x-2y+4z) ?
??? Ich sehe keine Matrix.
Vielleicht nennst Du mal eine konkrete Beispielaufgabe.
Wenn ich mal ein bißchen raten darf:
Du hast eine lin. Abbildung
[mm] f:\IR^3 \to \IR^2 [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{ x-2y+4z \\x+z}.
[/mm]
Die darstellende Matrix A ist die Matrix A:= [mm] \pmat{1&-2&4\\1&0&1}.
[/mm]
Wenn Du Bild und Kern dieser Matrix wissen möchtest, bring sie erstmal auf Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{1&-2&4\\1&0&1} [/mm] ---> [mm] \pmat{\red{1}&-2&4\\0&\red{2}&-3}
[/mm]
Der Rang dieser Matrix ist 2, also hat das Bild die Dimension 2 und kann folglich nichts anderes sein als der [mm] \IR^2 [/mm] höchstpersönlich.
Man kann aber auch eine Basis des Bildes ablesen:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen sind in Spalte 1 und 2.
Also bilden die 1. und 2. Spalte der Ursprungsmatrix, also von A, eine Basis des Bildes.
Kern:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen sind in Spalte 1 und 2.
Also kann man die 3. Variable frei wählen.
Mit
z:=t
bekommt man aus Zeile 2
2y-3z=0 <==>
y=1.5 t, und aus Zeile 1
x-2y+4z=0 <==>
x=2y-4z=3t-4t=-t.
Also haben alle Vektoren des Kerns die Gestalt
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{-t\\1.5t\\t}=t*\vektor{-1\\1.5\\1},
[/mm]
und [mm] \vektor{-1\\1.5\\1} [/mm] ist eine Basis des Kerns.
Oder mit "Minus-Eins-Trick":
Umformen in reduzierte Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{1&-2&4\\1&0&1} [/mm] ---> [mm] \pmat{1&-2&4\\0&2&-3} [/mm] ---> [mm] \pmat{1&0&1\\0&1&-1.5}
[/mm]
Nullzeile(n) einschieben, so daß die Matrix quadratisch wird und die führenden Elemente der Nichtnullzeilen auf der Hauptdiagonalen stehen:
[mm] \pmat{1&0&1\\0&1&-1.5\\0&0&0}.
[/mm]
Einheitsmatrix subtrahieren:
[mm] \pmat{0&0&1\\0&0&-1.5\\0&0&-1}.
[/mm]
In den Nichtnullspalten hat man eine Basis des Kerns.
LG Angela
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