Basis des Kerns < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 So 07.12.2008 | | Autor: | Piezke |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rang und sowie eine Basis für den Kern der 3 x 4 Matrix.
[mm] \pmat{ 4 & 8 & 3 & 24 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 2 & 4 & 0 & 10} \varepsilon Mat_{3x4}(\IQ) [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe versucht die Aufgabe zu lösen, bin mir aber sehr unsicher.
Ich habe erstmal versucht das ganze in ZSF zu bringen und habe mich dabei hoffentlich verrechnet.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Rang des Bildes = 2 da Dim(Im(A)) = 2 da zwei Zeilen keine "Nullzeilen" sind. Dann Rang(Ker(A)) = 1 da Dim(Ker(A)) = 1 da eine Nullzeiele.
Dann habe ich versucht die Basis zu "finden".
x = s * [mm] \pmat{ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + t * [mm] \pmat{ -5 \\ 0 \\ 4/3 \\ 1 }
[/mm]
Ist das auch die Basis des Kerns ?
Ich hangel mich immer von Punkt zu Punkt ... leider sind für mich viele Zusammenhänge nicht offensichtlich.
lg
Piezke
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Piezke,
> Bestimmen Sie den Rang und sowie eine Basis für den Kern
> der 3 x 4 Matrix.
> [mm]\pmat{ 4 & 8 & 3 & 24 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 2 & 4 & 0 & 10} \varepsilon Mat_{3x4}(\IQ)[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich habe versucht die Aufgabe zu lösen, bin mir aber sehr
> unsicher.
>
> Ich habe erstmal versucht das ganze in ZSF zu bringen und
> habe mich dabei hoffentlich verrechnet.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Hmm, ich komme so auf die Schnelle auf diese ZSF:
[mm] $\pmat{ 4 & 8 & 3 & 24 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
>
> Rang des Bildes = 2 da Dim(Im(A)) = 2 da zwei Zeilen keine
> "Nullzeilen" sind. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann Rang(Ker(A)) = 1 da Dim(Ker(A)) = 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was steht denn da? Lies dir das mal laut vor ...
Rang(Kern(A)), was soll das sein?
Außerdem ist der Kern nicht 1-dimensional, sondern 2-dimensional.
Deine [mm] $3\times [/mm] 4$-Matrix beschreibt dir doch eine lineare Abbildung [mm] $\varphi:\IR^4\to\IR^3$
[/mm]
Nach dem Dimensionssatz ist [mm] $dim(\IR^4)=4=dim(Im(\varphi))+dim(Kern(\varphi))$ [/mm] oder in Matrixschreibweise
[mm] $dim(\IR^4)=4=dim(Im(A))+dim(Kern(A))$
[/mm]
Es bleibt offensichtlich nur $dim(Kern(A))=2$
Das passt ja auch zu deiner weiter unten berechneten Lösungsgesamtheit
> da eine Nullzeiele.
> Dann habe ich versucht die Basis zu "finden".
>
> $x = s * [mm] \pmat{ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + t * [mm] \pmat{ -5 \\ 0 \\ \red{-}4/3 \\ 1 }$
[/mm]
Da erhalte ich [mm] $\red{-}\frac{4}{3}$
[/mm]
> Ist das auch die Basis des Kerns ?
Ausgehend von deiner Matrix in ZSF ist das bis auf einen VZF die korrekte Lösungsgesamtheit, der Kern wird von den beiden Lösungsvektoren aufgespannt, also
[mm] $Kern(A)=\left\langle\vektor{-2\\1\\0\\0}, \vektor{-5\\0\\-\frac{4}{3}\\1}\right\rangle$
[/mm]
Also ist der Kern 2-dimensional !! (siehe Dimensionsformel oben)
>
> Ich hangel mich immer von Punkt zu Punkt ... leider sind
> für mich viele Zusammenhänge nicht offensichtlich.
Das ist auch am Anfang alles relativ abstrakt und schwierig durchschaubar, aber das wird, du bist ja (zumindest hier in der Aufgabe) auf einem guten Weg 
>
> lg
> Piezke
>
>
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 07.12.2008 | | Autor: | Piezke |
Vielen Dank für deine Hilfe. Da ich doch was selbstständig geschafft habe bin ich eben drei mal mit vor stolz geschwellter Brust ums Haus gegangen.
Nun nochmal zur ZSF. Ich möchte mal meine Umformungen wiedergeben um keine bösen Überraschungen zu erleben.
[mm] \pmat{ 4 & 8 & 3 & 24 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 2 & 4 & 0 & 10}
[/mm]
3. Zeile +(-2) mal zur 1. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 2 & 4 & 0 & 10}
[/mm]
3. Zeile geteilt durch 2
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 1 & 2 & 0 & 5}
[/mm]
2. Zeile +(-1) mal zur 3. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & -3 & -4}
[/mm]
1. Zeile +(1) mal zur 3. Zeile und dann 2. und 1. Zeile tauschen
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Ist der Weg so ok?
Das mit der 4 bzw. -4 habe ich falsch hingeschrieben, habe ich aber auch raus. (sry)
Ich sehe das mit der Dimension 2 des Kerns ein. Vielen Dank.
Nun nochmal eine Frage zum Rang. Die Aufgabenstellung ist glaube ich etwas unglücklich formuliert:
Bestimmen Sie den Rang und sowie eine Basis für den Kern der 3 x 4 Matrix. Hat ein Kern einen Rang ? Ich denke mal, dass sich der Rang hier auf die Matrix bezieht da ich noch nie Rang im direkten Zusammenhang mit Kern gehört habe. Und noch etwas ... der Rang der Matrix ist doch eigentlich 3 oder ? ... bzw. das Ändern der Matrix in die ZSF mache ich doch nur um die Dimension des Bildes bzw. des Kerns und die Basis zu bekommen. Am Rang der Matrix selbst kann sich doch nicht ändern?!? Das Gerangel umd den Kern der Sache verwirrt mich.
lg
Piezke
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für deine Hilfe. Da ich doch was selbstständig
> geschafft habe bin ich eben drei mal mit vor stolz
> geschwellter Brust ums Haus gegangen.
Zurecht ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
>
> Nun nochmal zur ZSF. Ich möchte mal meine Umformungen
> wiedergeben um keine bösen Überraschungen zu erleben.
>
> [mm]\pmat{ 4 & 8 & 3 & 24 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 2 & 4 & 0 & 10}[/mm]
>
> 3. Zeile +(-2) mal zur 1. Zeile
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 2 & 4 & 0 & 10}[/mm]
>
> 3. Zeile geteilt durch 2
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 1 & 2 & 0 & 5}[/mm]
>
> 2. Zeile +(-1) mal zur 3. Zeile
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & -3 & -4}[/mm]
Hier habe ich in der letzten Zeile [mm] \red{+}3 [/mm] und [mm] \red{+}4, [/mm] aber das ist ja Latte
>
> 1. Zeile +(1) mal zur 3. Zeile und dann 2. und 1. Zeile
> tauschen
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Ist der Weg so ok?
Ja, vollkommen, ich hatte das nur in der Schnelle stur von oben nach unten in ZSF gebracht
>
> Das mit der 4 bzw. -4 habe ich falsch hingeschrieben, habe
> ich aber auch raus. (sry)
Das dachte ich mir schon
> Ich sehe das mit der Dimension 2 des Kerns ein. Vielen
> Dank.
> Nun nochmal eine Frage zum Rang. Die Aufgabenstellung ist
> glaube ich etwas unglücklich formuliert:
> Bestimmen Sie den Rang und sowie eine Basis für den Kern
> der 3 x 4 Matrix. Hat ein Kern einen Rang ?
Natürlich nicht, eine Matrix hat einen Rang, aber der Kern ist eine Menge von Vektoren (bzw. ein Vektorraum), die hat keinen Rang
> Ich denke mal,
> dass sich der Rang hier auf die Matrix bezieht da ich noch
> nie Rang im direkten Zusammenhang mit Kern gehört habe.
Ja, die Aufgabenstellung ist wahrlich etwas schlecht formuliert
> Und noch etwas ... der Rang der Matrix ist doch eigentlich 3
> oder ? ... bzw. das Ändern der Matrix in die ZSF mache ich
> doch nur um die Dimension des Bildes bzw. des Kerns und die
> Basis zu bekommen. Am Rang der Matrix selbst kann sich doch
> nicht ändern?!? Das Gerangel umd den Kern der Sache
> verwirrt mich.
Mich verwirren diese Ausführungen
Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Nicht-Nullzeilen der Matrix in ZSF, und der ändert sich durch elementare Zeilen- bzw. Spaltenumformungen nicht.
Und das ist = der Dimension des Bildes derjenigen linearen Abbildung, die die Matrix beschreibt, also
$rg(A)=dim(Im(A))$
Das Bild der Matrix (bzw. der durch sie beschriebenen linearen Abb.) ist ein Untervektorraum des Zielraumes der linearen Abbildung, hier im Bsp. also ein Unterraum des [mm] $\IR^3$
[/mm]
Der Kern der Matrix (bzw. der durch sie beschriebenen linearen Abb.) ist ein Untervektorraum des Urbildraumes der linearen Abbildung, hier in der Aufgabe also ein Unterraum des [mm] $\IR^4$ [/mm] (und zwar ein 2-dimensionaler)
Rechnerisch kannst du ihn (bzw. eine Basis) durch Lösen der Gleichung [mm] $A\cdot{}\vec{x}=\vec{0}$ [/mm] (der Kern ist ja die Menge aller Vektoren (des Urbildraumes), die unter der linearen Abbildung (die hier durch die Matrix A beschrieben wird) auf den Nullvektor des Zielraumes abgebildet wird)
Und das machst du hast üblicherweise wie oben, indem du die erweiterte Matrix [mm] $(A\mid [/mm] 0)$ in ZSF bringst und durch "Rückwärtseinsetzen" die Lösungsgesamtheit bestimmst
>
> lg
> Piezke
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 So 07.12.2008 | | Autor: | Piezke |
Vielen Dank für deine Mühe mir die Thematik begreiflich zu machen. Und JA, ich glaube deine Auführungen zu verstehen (ich hab das ja auch schonmal so ähnlich gehört). Ich muss mir das alles aber nochmal im Kopf und auf Papier zusammenbasteln bzw. vergegenwärtigen um ein komplettes Bild der Sache zu bekommen.
Besten Dank und feinste Grüße
der Piezke
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